Exponentielles Wachstum und Logarithmus
Eine Bakterienkultur wächst jede Stunde um 20 %. Handelt es sich um lineares oder exponentielles Wachstum? Begründe mit einem Satz.
Exponentielles Wachstum, da die Zunahme immer um den gleichen Prozentsatz erfolgt.
Aus einer Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie viele Pfade besitzt das zugehörige Baumdiagramm?
4 Pfade
Ein Winkel beträgt 60°
Gib den Winkel im Bogenmaß an.
60° = Pi/3
Gegeben ist die Funktion
f(x)=2x4−5x2+3
Frage: Wie verhält sich der Graph für x→∞ und x→−∞
Der höchste Exponent ist 4 (gerade) und der Leitkoeffizient ist positiv. Also:
f(x)→ ∞ für x→ ± ∞
Der Graph kommt von oben und geht nach oben.
Ein Rechteck hat die Seiten a und b und wird um b gedreht.
Welcher Körper entsteht? Was bestimmen die Seiten des Rechtecks im Rotationskörper?
Lösung:
Es entsteht ein gerader Kreiszylinder.
Es entsteht ein gerader Kreiszylinder.
Seite a: Radius der Grundfläche
Seite b: Höhe des Zylinders
Gegeben ist die Funktion
f(x)=4⋅0,8x
Nenne den y-Achsenabschnitt und entscheide, ob der Graph steigt oder fällt.
y-Achsenabschnitt: 4
Der Graph fällt (da 0<a<1)
Aus einer Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?
2/5 * 1/4 = 2/10 = 1/10
Also: 0,1 bzw. 10 %.
Gegeben ist der Winkel
α=5/6 Pi.
Bestimme das Vorzeichen von sin(α) und cos(α)
sin(α) > 0
cos(α)< 0
Gegeben ist
f(x)=3x5−2x3+x
Begründe, ob der Graph Achsensymmetrie zur y-Achse, Punktsymmetrie zum Ursprung oder keine Symmetrie besitzt.
Es kommen nur ungerade Exponenten vor. Daher gilt:
f(−x)=−f(x).
Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.
Gib den Term an, mit dem man die Mantellinie eines Kegels bestimmen kann.
m = Wurzel(h2+r2)
Bestimme ohne Taschenrechner:
log3(81)
4
da 34 = 81
Aus einer Urne mit 4 weißen und 2 schwarzen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen?
P(SW) + P(WS) = 2/6 * 4/5 + 4/6 * 2/5 = 8/15 ist circa 0,533
Bestimme alle Winkel im Bereich 0 ≤ x ≤ 2π
für die gilt:
sin(x)= - 1/2
7/6 Pi und 11/6 Pi
Gegeben ist
f(x)=x3 - 5/2 x2
Bestimme die Nullstellen und ihre Vielfachheiten.
Doppelte Nullstelle bei 0, einfache Nullstelle bei +5/2
Ein Kegel besitzt dieselbe Grundfläche und Höhe wie ein Zylinder.
Wie viele solcher Kegel würden das Volumen des Zylinders ausfüllen?
Ein Kegel hat ein Drittel des Zylindervolumens.
VKegel=1/3*G*h
Antwort: 3 Kegel
Löse die Gleichung
5⋅1,3x=18
log1,3(18/5) (gerundet 4,88)
In einer Urne befinden sich 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei rote Kugeln gezogen werden?
Lösung: P(RRG) + P(RGR) + P(GRR) = 3/10
Gegeben ist die Funktion
f(x)=3sin(2x)+1
Gib Amplitude, Periodenlänge und Verschiebung in y-Richtung an.
Amplitude: ∣a∣=3
Periode: P= Pi
Verschiebung nach oben: d=1
Eine ganzrationale Funktion besitzt folgende Eigenschaften:
- Sie ist geraden Grades.
- Der Graph geht für x→±∞ nach unten.
- Sie besitzt bei x=2 eine doppelte Nullstelle und bei x=−1 eine einfache Nullstelle.
Frage: Gib einen möglichen Funktionsterm an.
z.B.:
-1*(x-2)2*(x+1)*x
-1*(x-2)2*(x+1)*(x-1)
-1*(x-2)2*(x+1)*(x-3)
etc.
Ein gerader Kreiskegel besitzt einen Radius von
r=5 cm und eine Höhe von h=12 cm.
Bestimme den Oberflächeninhalt des Kegels.
m = Wurzel(5^2+12^2)=13
O= Pi * r2 + Pi * r * m = 25 Pi + 65 Pi = 90 Pi.
Die Anzahl der Nutzer einer neuen App wird durch
N(t)=800⋅1,12t
beschrieben (t in Monaten).
Nach wie vielen Monaten wird die Anzahl der Nutzer erstmals über 2000 liegen?
t > log1,12(2,5) (ist circa 8,1)
Also: nach 9 Monaten erstmals über 2000 Nutzer.
Bei einer Monte-Carlo-Simulation zur Bestimmung von Pi liegen von 20 000 zufällig erzeugten Punkten 15 720 innerhalb eines Viertelkreises.
Welcher Näherungswert ergibt sich so für Pi?
Pi ≈ 4 * 15720/20000 = 3,144
Die Temperatur in einem Gewächshaus schwankt im Tagesverlauf. Sie beträgt um 6 Uhr morgens 18°, steigt bis 14 Uhr auf 26° und fällt danach wieder ab.
Welche Amplitude und welche Verschiebung in pos. y-Richtung besitzt eine passende Sinusfunktion, die diese Temperatur beschreibt?
A = (Max - Min) / 2 = (26-18)/2 = 4
Amplitude beträgt 4°
Verschiebung um 22 nach oben
Eine ganzrationale Funktion f besitzt folgende Eigenschaften:
- Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Der Graph schneidet die x-Achse bei x=2.
- Bei x=0 besitzt der Graph eine dreifache Nullstelle.
- Für x→∞ gilt: f(x)→∞.
Bestimme einen möglichen Funktionsterm f(x)f(x)f(x).
x3*(x-2)*(x+2)
Ein kugelförmiger Wassertank soll durch einen zylindrischen Tank ersetzt werden, dessen Grundfläche dem Querschnitt der Kugel entspricht. Die Kugel besitzt einen Radius von r=2m.
Welche Höhe muss der Zylinder besitzen, damit beide Tanks dasselbe Volumen haben?
VK=VZ
4/3*Pi*r3 = Pi * r2 * h
h = 4/3*r
Also: h = 8/3m