Текстовые задачи (ЕГЭ)

Проценты

100

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит, стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость пяти рубашек составляет 115% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 15%. 

Ответ: 15.

200

В 2008 году в городском квартале проживало  человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на  а в 2010 году на  по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

В 2009 году число жителей стало  человек, а в 2010 году число жителей стало  человек. 

Ответ: 47 088.

300

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет  дохода семьи.

 

Ответ: 27.

400

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на  дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на  и их стоимость стала составлять  Во вторник акции подешевели на  и их стоимость стала составлять  В результате они стали стоить на  дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,

 

Ответ: 20.

500

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на p процентов в год. Тогда за два года она снизилась на  откуда имеем:

 

Ответ: 11.

Сплавы/Растворы/Смеси

100

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. Поэтому 20 кг изюма содержат  кг питательного вещества. Таким образом, для получения 20 килограммов изюма требуется  кг винограда.

200

Смешали 4 литра 15−процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25−процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Концентрация раствора равна Таким образом, концентрация получившегося раствора равна:

 

Ответ: 21.

300

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Пусть масса первого сплава m кг, а масса второго −  кг, масса третьего сплава −  кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй − 40% меди, третий сплав − 30% меди. Тогда:

Таким образом, масса третьего сплава равна 9 кг.

Ответ: 9.

400

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава  кг, а масса второго −  кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах  и соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:

Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.

Ответ: 100.

500

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса 30-процентного раствора кислоты −  кг, а масса 60-процентного −  Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить  кг чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты:  Если бы вместо 10 кг воды добавили  кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты:  Решим полученную систему уравнений:

Ответ: 60.

Работа

100

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют  работы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.

Ответ: 4.

200

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

За минуту Маша пропалывает одну двадцатую грядки, а Маша с Дашей вместе — одну двенадцатую. Поэтому за одну минуту Даша пропалывает  грядки. Всю грядку она прополет за 30 минут.

Ответ: 30.

300

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Пусть x — производительность первого насоса, y — производительность второго насоса, z — производительность третьего насоса. Тогда

Сложив уравнения, получим

Тогда при совместной работе всех трех насосов время заполнения бассейна составит  минуты.

Ответ: 8,4

400

Плиточник планирует уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Пусть плиточник планирует был укладывать x кв. м плитки в день. Тогда он уложит всю плитку за  дней. Если бы он укладывал на 10 кв. м в день больше, то уложил бы плитку на два дня раньше и сделал это за  дней. Получаем уравнение:

Отрицательный корень не подходит по условию задачи, следовательно, плиточник планирует ежедневно укладывать по 25 кв. м плитки.

Ответ: 25.

500

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Пусть производительность каждого из рабочих равна  заказа в день, и пусть в новом составе бригады доделывали заказы y дней. Тогда за первые 7 дней работы бригадами в 16 и 25 человек было сделано  и  частей заказов, а за следующие y дней бригадами в 24 человека и 17 человек были доделаны оставшиеся  и  частей заказов. Поскольку в результате были целиком выполнены два заказа, имеем:

Значит, в новом составе бригады работали 9 дней. Таким образом, потребовалось 7 + 9 = 16 дней на выполнение заказов.

Ответ: 16

Движение по воде

100

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Пока сухогрузы перейдут из первого положения во второе, второй сухогруз переместился относительно первого на

Пусть u — разность скоростей сухогрузов, тогда

Ответ: 6.

200

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть u км/ч — скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна  км/ч, а скорость лодки против течения равна  км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем:

 Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3

300

Весной катер идёт против течения реки в  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Пусть x (км/ч) — собственная скорость катера, (км/ч) — скорость течения реки весной. Тогда летом она составит  (км/ч);

Составим таблицу по данным задачи:

Весна по течению, против течения

Лето по течению, против течения

Решим систему уравнений:

Таким образом, скорость течения весной равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

400

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Пусть весь путь теплохода равен  км. Время в пути составляет 30 часов, из которых 5 часов — стоянка:

Тем самым, весь пути теплохода составляет 2 · 308 = 616 км.

Ответ: 616.

500

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Пусть u км/ч — собственная скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна  км/ч, а скорость лодки против течения равна  км/ч. На весь путь лодка затратила  (часов), отсюда имеем:

 Таким образом, собственная скорость лодки равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

Движение по прямой

100

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города  Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города  Ответ дайте в км/ч.

Автомобиль, выехавший из города A, преодолел расстояние (330 − 180) км = 150 км за 3 часа. Пусть  км/ч — скорость данного автомобиля. Таким образом, км/ч.

Ответ: 50.

200

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Пусть t ч — время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 65t км, а второй − 75t км. Тогда имеем:

Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ: 4.

300

Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Пусть автомобили встретятся на расстоянии S км от города A, тогда второй автомобиль пройдет расстояние  км. Второй автомобиль находился в пути на 1 час меньше первого, отсюда имеем:

Ответ: 240.

400

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Скорость товарного поезда меньше, чем скорого на 750 м/мин или на

Пусть υ км/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда  км/ч. На путь в 180 км товарный поезд тратит времени на 2 часа больше, чем скорый, отсюда имеем:

Ответ: 45.

500

Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в  Найдите расстояние от A до  Ответ дайте в километрах.

Обозначим S км — расстояние от A до C,  км/ч — скорость автомобиля, t ч — время движения мотоциклиста от A до C. Тогда  и  Решим систему полученных уравнений:

Тогда  км.

Ответ: 90.