logica
nel suo borsellino, Tom ha complessivamente 25 centesimi e monete da 1, 2 e 5 cetesimi, quante monete avrà al minimo sapendo che ha almeno una moneta per ogni tipo
7 monete al mino
Un numero naturale è multiplo di 6 e di 15. Qual è il più piccolo numero che soddisfa questa condizione?
30
Tre amici (Anna, Luca e Marco) dicono:
Anna: “Luca ha mentito.”
Luca: “Marco ha mentito.”
Marco: “Anna e Luca hanno detto la verità.”
Se solo una persona dice la verità, chi è quello che dice la verità?
Luca
Dalla casa di Mario a quella di Giovanni c'è una distanza di 700 metri; da quella di Giovanni a quella di Luigi 500 metri.
Cosa si può dire della distanza tra la casa di Mario e quella di Luigi?
A. è 1200 m
B. è meno di 1200 m
C. è più di 1200 m
D. non può essere superiore a 1200 m
D. non può essere superiore a 1200 m
Il ragionamento:
- La distanza massima tra la casa di Mario e quella di Luigi si ha quando i tre punti sono allineati nello stesso verso:
700 + 500 = 1200 m.
- In tutti gli altri casi (se Luigi non è “oltre” Giovanni sulla stessa linea), la distanza è minore.
Quindi la distanza tra Mario e Luigi non può superare i 1200 m.
L'Ombrello Perduto
Considera questa regola: "Se piove, allora porto l'ombrello". Se sappiamo che oggi non ho portato l'ombrello, cosa possiamo concludere con certezza logica sulla pioggia?
Che non sta piovendo. Per la regola del "Modus Tollens", se l'effetto (portare l'ombrello) non si verifica, allora la causa (la pioggia) non può essersi verificata. Se piovesse, avrei l'ombrello per forza.
Se 10 ragazzi di un’associazione di volontariato ecologista hanno bisogno di cinque giorni per ripulire un bosco, liberandolo dai rifiuti, quanti ne servirebbero per ripulire lo stesso bosco in due giorni?
25 ragazzi
Il Prezzo del Tappo
Una bottiglia di vino e un tappo costano insieme 1,10 €. La bottiglia costa 1,00 € più del tappo. Quanto costa il tappo?
0,05 € (ovvero 5 centesimi).
- Perché? L'errore comune è rispondere 0,10 €. Ma se il tappo costasse 0,10 €, la bottiglia (costando un euro in più) costerebbe 1,10 €, portando il totale a 1,20 €. Invece, con il tappo a 0,05 € e la bottiglia a 1,05 €, il totale è esattamente 1,10 €.
Il padre di Maria ha cinque figlie. I nomi delle prime quattro sono: Nana, Nene, Nini e Nono. Qual è il nome della quinta figlia?
Maria.
Molti rispondono d'istinto "Nunu" seguendo la sequenza delle vocali, ma il testo specifica chiaramente all'inizio che si tratta del padre di Maria.
Lo Sconto Doppio
Testo: Un paio di scarpe costa 100 euro. Il negozio applica uno sconto del 20% e, il giorno dopo, applica un ulteriore sconto del 10% sul prezzo già scontato. Qual è il prezzo finale?
72 Euro. Dopo lo sconto del 20%, le scarpe costano 80 euro. Il 10% di 80 euro è 8 euro. Sottraendo 8 da 80, il prezzo finale è 72. (Nota: non è il 30% di sconto totale, che farebbe 70).
La Sequenza Infinita
Qual è il numero successivo in questa famosa sequenza: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...?
21. Si tratta della successione di Fibonacci, dove ogni numero è la somma dei due precedenti (8 + 13 = 21).
La Lista delle Menzogne
Hai davanti a te una lista di 10 affermazioni numerate:
1. "Esattamente una frase in questa lista è falsa."
2. "Esattamente due frasi in questa lista sono false."
3. "Esattamente tre frasi in questa lista sono false."
... (e così via fino alla 10) ...
4. "Esattamente dieci frasi in questa lista sono false."
Quale di queste affermazioni è l'unica a essere vera?
La numero 9.
- Perché? Se tutte le frasi fossero false, la numero 10 sarebbe vera, creando una contraddizione. Se più di una frase fosse vera, ci sarebbe un conflitto (non possono esserci contemporaneamente "esattamente 3" ed "esattamente 4" falsi). L'unico scenario logicamente coerente è che ci sia una sola frase vera e 9 frasi false. Di conseguenza, la frase che dichiara "ci sono esattamente 9 falsi" è quella corretta.
La Lumaca nel Pozzo
Una lumaca deve risalire un pozzo profondo 10 metri. Ogni giorno sale di 3 metri, ma ogni notte, mentre dorme, scivola giù di 2 metri. In quanti giorni riuscirà a uscire dal pozzo?
8 giorni.
- Perché? Nei primi 7 giorni la lumaca guadagna effettivamente 1 metro al giorno (3 avanti, 2 indietro), arrivando a quota 7 metri. All'ottavo giorno, la lumaca sale di 3 metri e raggiunge i 10 metri: a quel punto è uscita dal pozzo e non scivola più indietro!
Ti trovi davanti a due porte: una conduce alla libertà, l'altra a morte certa. Davanti a ogni porta c'è un guardiano. Uno dice sempre la verità, l'altro mente sempre. Puoi fare una sola domanda a uno solo dei due per capire qual è la porta della libertà. Cosa chiedi?
Devi chiedere: "Se chiedessi al tuo collega qual è la porta della libertà, quale mi indicherebbe?".
Qualunque sia il guardiano a cui lo chiedi, ti indicherà sempre la porta della morte. Tu dovrai quindi scegliere l'altra porta.
Perché? Se lo chiedi a quello sincero, lui ti dirà onestamente la bugia che direbbe il collega. Se lo chiedi al bugiardo, lui ti dirà il contrario di ciò che direbbe il sincero (quindi mentirà sulla risposta corretta). In entrambi i casi, la risposta ricevuta è quella sbagliata.
La Velocità Media
Un'auto percorre un tragitto di 100 km alla velocità di 100 km/h. Al ritorno, percorre la stessa strada a 50 km/h. Qual è la velocità media dell'intero viaggio?
66,6 km/h circa. La velocità media non è la media semplice (75), ma si calcola sul tempo totale. All'andata impiega 1 ora, al ritorno 2 ore. In totale percorre 200 km in 3 ore. 200 / 3 = 66,66...
Calzini nel Buio
In un cassetto ci sono 10 calzini neri e 10 calzini blu, tutti mescolati. La stanza è al buio pesto. Qual è il numero minimo di calzini che devi estrarre per essere matematicamente sicuro di averne almeno due dello stesso colore?
3 calzini. Con due calzini potresti averne uno nero e uno blu. Il terzo calzino sarà necessariamente o nero (facendo coppia con il primo) o blu (facendo coppia con il secondo).
La Strategia dei Cappelli
10 prigionieri sono messi in fila indiana, uno dietro l'altro. A ognuno viene messo un cappello che può essere Rosso o Blu. Ogni prigioniero vede i cappelli di tutti quelli davanti a lui, ma non il proprio né quelli di chi sta dietro.
Partendo dall'ultimo della fila (che vede 9 cappelli), ognuno deve dire a voce alta il colore del proprio cappello. Se indovina, è libero.
I prigionieri possono accordarsi su una strategia prima di iniziare. Qual è il numero massimo di prigionieri che possono salvarsi con certezza matematica?
9 prigionieri.
- La strategia: Il primo a parlare (l'ultimo della fila) non può sapere il suo colore, quindi si "sacrifica" per dare un'informazione agli altri. Si accordano che lui dirà "Rosso" se vede un numero pari di cappelli rossi davanti a sé, e "Blu" se ne vede un numero dispari.
- Il secondo della fila, sapendo se il totale dei rossi deve essere pari o dispari e guardando i 8 cappelli davanti, può dedurre il proprio colore per differenza. Tutti i successivi faranno lo stesso calcolo basandosi sulle risposte precedenti. Il primo ha il 50% di probabilità, gli altri 9 la certezza assoluta.
Zampe nel Cortile
In un cortile ci sono polli e conigli. In tutto si contano 35 teste e 94 zampe.
Quanti conigli ci sono nel cortile?
12 conigli.
Il ragionamento:
- Se i 35 animali fossero tutti polli, avremmo 70 zampe (35 × 2).
- Tuttavia, ne abbiamo 94, ovvero 24 in più (94 − 70 = 24).
- Poiché ogni coniglio ha 2 zampe in più rispetto a un pollo, dividiamo le zampe extra per 2: 24 ÷ 2 = 12.
Ci sono quindi 12 conigli e 23 polli.
All'esterno di una stanza chiusa ci sono tre interruttori (A, B, C). Uno solo accende la lampadina all'interno. Puoi muovere gli interruttori quanto vuoi, ma puoi entrare nella stanza una sola volta per controllare la luce. Come fai a capire con certezza qual è l'interruttore giusto?
Devi usare il calore.
1. Accendi l'interruttore A e lascialo acceso per 5 minuti.
2. Passati i 5 minuti, spegni A e accendi subito B.
3. Entra nella stanza:
Se la lampadina è accesa, l'interruttore giusto è il B.
Se la lampadina è spenta ma calda al tatto, l'interruttore giusto è l'A.
Se la lampadina è spenta e fredda, l'interruttore giusto è il C.
Il Mattone
Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone intero?
2 chili. Se rappresentiamo il mattone come X, l'equazione è X = 1 + X/2. Sottraendo X/2 da entrambi i lati, otteniamo X/2 = 1, quindi X = 2.
Le Etichette Bugiarde
Hai tre scatole chiuse. Una contiene caramelle alla Menta, una all'Anice e una è Mista. Le tre etichette sulle scatole sono "Menta", "Anice" e "Mista", ma sai per certo che tutte le etichette sono sbagliate. Estrai una sola caramella dalla scatola "Mista". Se è alla menta, come puoi indovinare il contenuto di tutte le scatole?
Se la scatola etichettata "Mista" contiene Menta, allora:
1. La scatola "Mista" contiene Menta.
2. La scatola "Anice" non può contenere Anice (etichetta sbagliata) né Menta (già trovata), quindi contiene Mista.
3. La scatola "Menta" per esclusione contiene Anice.
L'Enigma delle 100 Porte
In un corridoio ci sono 100 porte chiuse, numerate da 1 a 100.
Al primo passaggio, apri tutte le porte.
Al secondo passaggio, cambi lo stato (se è aperta la chiudi, se è chiusa la apri) di ogni porta con un numero multiplo di 2 (2, 4, 6, …).
Al terzo passaggio, cambi lo stato di ogni porta multiplo di 3 (3, 6, 9, …).
… e così via fino al centesimo passaggio, dove cambi solo la porta 100.
Alla fine, quali porte rimarranno aperte?
Le porte che hanno come numero un quadrato perfetto:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
La logica:
Una porta viene toccata (aperta o chiusa) tante volte quanti sono i suoi divisori.
Per esempio, la porta 6 viene toccata dai passaggi 1, 2, 3 e 6 (4 volte: aperta → chiusa → aperta → chiusa).
Per rimanere aperta alla fine, una porta deve essere toccata un numero dispari di volte.
In matematica, quasi tutti i numeri hanno un numero pari di divisori (perché i divisori vanno a coppie, es. per il 6:
1 × 6 e 2 × 3).
Gli unici numeri che hanno un numero dispari di divisori sono i quadrati perfetti, perché hanno un divisore che moltiplicato per se stesso dà il numero (es. per il 9:
1 × 9 e 3 × 3 → il 3 compare una sola volta).
Il Numero a Tre Cifre
Trova un numero composto da tre cifre che rispetti queste condizioni:
La cifra delle centinaia è il quadruplo di quella delle unità.
La cifra delle decine è uguale alla somma delle altre due cifre (centinaia + unità).
Qual è il numero?
451.
Il calcolo:
-Partiamo dalla cifra delle unità. Se fosse 1, le centinaia sarebbero 4 (1 × 4 = 4).
-La cifra delle decine sarebbe la loro somma (4 + 1 = 5).
-Il numero è quindi 451.
Perché è l’unico?
-Se l’unità fosse 2, le centinaia sarebbero 8, ma la decina dovrebbe essere 10 (8 + 2), che non è una cifra singola.
-Se l’unità fosse 0, anche le centinaia sarebbero 0, e il numero non sarebbe più a tre cifre.
Ci sono tre scatole: una d'oro, una d'argento e una di piombo. In una di esse c'è un tesoro. Su ogni scatola c'è un'incisione, ma sai che una sola delle tre scritte è vera.
Oro: "Il tesoro è in questa scatola."
Argento: "Il tesoro non è in questa scatola."
Piombo: "Il tesoro non è nella scatola d'oro."
In quale scatola si trova il tesoro?
Nella scatola d'argento.
Procediamo per esclusione cercando l'unica situazione con una sola verità:
-Se il tesoro fosse nell'Oro: Sarebbe vera la scritta sull'Oro ("è qui") e sarebbe falsa quella sul Piombo ("non è nell'oro"). Ma sarebbe vera anche quella sull'Argento ("non è nell'argento"). Avremmo due verità. Sbagliato.
-Se il tesoro fosse nel Piombo: Sarebbe vera la scritta sull'Argento ("non è nell'argento") e vera quella sul Piombo ("non è nell'oro"). Avremmo di nuovo due verità. Sbagliato.
-Se il tesoro fosse nell'Argento: La scritta sull'Oro è falsa. La scritta sull'Argento è falsa (perché dice che non c'è, invece c'è). La scritta sul Piombo è vera (perché non è nell'oro). Abbiamo una sola verità. Corretto!
La Crescita Esponenziale
In un lago c'è una ninfea che ogni giorno raddoppia la sua estensione. Se impiega 48 giorni per coprire l'intero lago, quanti giorni impiega per coprirne esattamente la metà?
47 giorni. Se ogni giorno raddoppia, significa che il giorno prima di essere "pieno" (il 48°), il lago era pieno esattamente per metà.
La Moneta Falsa
Hai 9 monete identiche alla vista, ma una è falsa e pesa leggermente più delle altre. Hai a disposizione una bilancia a due piatti. Qual è il numero minimo di pesate necessarie per individuare con certezza la moneta falsa?
1. Dividi le monete in tre gruppi da 3 (A, B, C). Pesa A contro B. Se sono uguali, la falsa è nel gruppo C. Se una pende, la falsa è nel gruppo più pesante.
2. Del gruppo di 3 monete rimasto, pesane due tra loro. Se sono uguali, la falsa è la terza rimasta. Se una pende, hai trovato la falsa.