Contraditórias
Qual é a contraditória da afirmação simples: "x é um número par"
"x não é um número par" (ou x é um número ímpar", considerando o universo dos números inteiros)
Na afirmação "Se x + 3 = 7, então x = 4", quais são, respectivamente, o antecedente e o consequente?
O antecedente é "x + 3 = 7" e O consequente é "x = 4"
Este argumento é válido ou inválido e qual o seu nome? "Se x = 2, então 2x = 4. Sabemos que x = 2. Logo, 2x = 4."
Válido. Trata-se do Modus Ponens (o modo direto de argumentar com condicionais).
Por que este raciocínio é inválido (fraco)? "Se x = 3, então x2 = 9. Constatamos que x2 = 9. Logo, x = 3.
Trata-se da falácia da Afirmação do Consequente. O argumento é inválido porque x poderia ser igual a -3, tornando as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
Na condicional "Se um número é múltiplo de 10, então ele termina com o algarismo 0", o fato de ser múltiplo de 10 é uma condição necessária ou suficiente para terminar em 0?
É uma condição suficiente (pois pertencer à antecedente basta para garantir o resultado da consequente).
Qual a contraditória de: "x > 5 e x é múltiplo de 3"
"x ≤ 5 ou x não é múltiplo de 3"
Como fica a frase "x = 4 se x + 3 = 7" na forma canônica "Se..., então..."
"Se x + 3 = 7, então x = 4"
Classifique a validade e cite a forma dedutiva usada: "Se o ângulo alpha = 90o, o triângulo é retângulo. O triângulo não é retângulo. Logo, o ângulo alpha ≠ 90o."
Válido. É o Modus Tollens
Identifique o erro lógico nesta dedução: "Se um quadrilátero é um quadrado, ele possui 4 lados iguais. Este quadrilátero não é um quadrado. Logo, ele não possui 4 lados iguais."
É a falácia da Negação do Antecedente. A figura geométrica poderia ser um losango (que possui 4 lados iguais, mas não é um quadrado).
Na condicional "Se um número é múltiplo de 10, então ele termina com o algarismo 0", o fato de o número terminar com o algarismo 0 é uma condição necessária ou suficiente para ele ser múltiplo de 10?
É uma condição necessária (já que é obrigatório terminar em 0 para que o número possa cogitar ser um múltiplo de 10).
Qual a negação de: "O triângulo T é equilátero ou o triângulo T é isósceles"
"O triângulo $T$ não é equilátero nem é isósceles" (ou "O triângulo $T$ não é equilátero e não é isósceles")
Como traduzimos: "x é par só se x é múltiplo de 2"
"Se x é par, então x é múltiplo de 2"
Qual a validade desta estrutura baseada na exclusão de alternativas? "Ou o número n é par ou n é ímpar. O número n não é par. Logo, n é ímpar."
Válido. É a forma do Silogismo Disjuntivo
No universo dos números reais, por que este argumento falha(falácia formal)? "Ou o número x é menor que 5 ou x é maior que 10. Sabemos que x não é menor que 5. Logo, x é maior que 10."
É um Falso Dilema. A disjunção inicial falha por não apresentar todas as alternativas possíveis, omitindo que x poderia ser qualquer valor de 5 a 10
Para que um número inteiro n seja múltiplo de 6, ser um número múltiplo de 2 é uma condição necessária ou suficiente? Justifique.
É uma condição necessária, mas não suficiente. É necessária porque todo múltiplo de 6 é obrigatoriamente par (múltiplo de 2). Não é suficiente porque existem números n múltiplos de 2 que não dividem por 6, como o número 4.
Qual é a contraditória de: "Se x = 4, então x2 = 16"?
x = 4, mas x2 ≠ 16
Qual é a contrapositiva de: "Se um polígono tem 4 lados, então ele é um quadrilátero"?
"Se um polígono não é um quadrilátero, então ele não tem 4 lados"
É válido este encadeamento de hipóteses? "Se x > 10, então x > 5. Se x > 5, então x > 0. Logo, se x > 10, então x > 0.
Válido. Corresponde ao Raciocínio em Cadeia com condicionais (também chamado de Silogismo Hipotético).
Que falácia textual (mencionada na seção 6.4.4) ocorre aqui? "Se aceitarmos que um estudante erre uma soma básica na escola, logo ele errará multiplicações, falhará em equações, será reprovado no vestibular e as bases matemáticas do país inteiro irão colapsar."
Falácia da Derrapagem (ou Rampa Escorregadia). Ocorre ao pressupor uma reação em cadeia catastrófica e improvável a partir de uma primeira premissa simples.
Para obtermos o produto de dois números reais igual a zero (a . b = 0), a condição única de que "a = 0" é classificada de qual forma?
É uma condição suficiente, mas não necessária. É suficiente porque se a = 0, o produto será zero de qualquer forma. Não é necessária porque o produto também zera caso b = 0, mesmo com a ≠ 0.
qual é a contraditória de: "Se x é primo e x > 2, então x é ímpar"
"x é primo e x > 2, mas x não é ímpar" (ou seja, é par).
Reescreva com "Se..., então...": "Um número n não é menor que 10, a menos que n seja menor que 5"
"Se n é menor que 10, então n é menor que 5".
Avalie a validade deste argumento fundamentado na contraposição: "Se x2 é ímpar, então x é ímpar. O número x é par (não é ímpar). Logo, x2 é par (não é ímpar)."
Válido.
Demonstre a invalidade deste argumento com um contraexemplo matemático claro: "Se x é múltiplo de 4, então x é um número par. O número x é par. Logo, x é múltiplo de 4."
É uma Afirmação do Consequente. Um contraexemplo válido é o número x = 6. Ele é par (consequente verdadeiro), mas não é múltiplo de 4 (antecedente falso), provando que a conclusão não se segue necessariamente.
O que significa a definição geométrica: "Um polígono plano é um triângulo se, e só se, possui exatamente três lados" sob a ótica de condições lógicas
Significa que ter exatamente três lados é uma condição necessária e suficiente para classificar o polígono como um triângulo (propriedade típica das afirmações bicondicionais).