Matritsalar
np.eye funksiyasi qanday matritsa yasaydi va uning xossasi nima?
Identity (birlik) matritsa — diagonali 1, qolgani 0. Istalgan A ni A@I=A qilib o'zgartirmaydi.
MSE nima uchun ishlatiladigan qisqartma va u qanday ma'noni anglatadi?
Mean Squared Error — xatolarni kvadratga ko'tarib, o'rtachasini olish usuli.
det = 0 geometrik jihatdan nimani anglatadi?
Butun tekislik bitta chiziqqa (yoki nuqtaga) qisiladi — yuza nolga aylanadi.
Scaling, rotation, reflection va shear orasidagi asosiy farqni tushuntiring.
Scaling — cho'zish/siqish; rotation — burish (uzunlik saqlanadi); reflection — ko'zgu tasviri (bir ishora almashadi); shear — tekislikni qiyshaytirish/siljitish.
f(x) = np.abs(x)/x funksiyasi manfiy va musbat x'lar uchun qanday qiymat qaytaradi, va x=0 atrofida qanday xatti-harakat ko'rsatadi?
Manfiy x'lar uchun −1, musbat x'lar uchun +1 qaytaradi. x=0 ga yaqinlashganda chapdan −1 ga, o'ngdan +1 ga intiladi — ikki tomon mos kelmagani uchun umumiy limit yo'q.
Diagonalda [1, 1] turgan matritsa bilan istalgan vektorni ko'paytirsak nima bo'ladi va nega?
Vektor umuman o'zgarmaydi — bu identity matritsa, ya'ni matritsalar olamidagi "1".
Cost function grafigi qanday geometrik shaklga ega bo'ladi, va bu shaklning nomi nima?
Parabola (yoki "kosa/bowl" shakli).
Eigenvector oddiy vektordan nimasi bilan farq qiladi?
Eigenvector — matritsa qo'llanganda yo'nalishi o'zgarmaydigan, faqat cho'ziladigan yoki qisqaradigan vektor. Oddiy vektorning esa yo'nalishi ham o'zgarib ketadi.
Nega A@B ko'pincha B@A ga teng bo'lmaydi?
Ketma-ket transformatsiyalar tartibi natijaga ta'sir qiladi (avval cho'zish-keyin burish ≠ avval burish-keyin cho'zish) — xuddi "avval paypoq, keyin poyabzal" bilan aksincha kiyish har xil natija berganidek.
Uzluksizlik uchun 3 shartni ayting va har birining buzilishi qanday uzilish turiga olib kelishini tushuntiring.
1) f(a) mavjud, 2) limit mavjud, 3) limit = f(a). 1 yoki 3-shart buzilsa — "teshik" (removable); 2-shart buzilsa (chap≠o'ng) — "sakrash" (jump); limit cheksizga qochsa — "portlash" (infinite).
Nega teskari matritsa faqat det ≠ 0 bo'lganda mavjud bo'ladi?
Det = 0 bo'lsa, matritsa butun tekislikni bitta chiziqqa "qisadi" — ma'lumot yo'qoladi va uni orqaga qaytarib (dekodlab) bo'lmaydi, shu sabab teskari amal mumkin emas.
Gradient descentning yangilash formulasini yozing (w_yangi = ...), va formuladagi "minus" belgisi nima uchun kerakligini tushuntiring.
w_yangi = w − learning_rate × gradient. Minus kerak, chunki gradient C(w) o'sish tomonini ko'rsatadi, bizga esa PASAYISH kerak — shuning uchun teskari tomonga yuramiz.
Nega diagonal matritsaning eigenvectorlari aynan koordinata o'qlarining o'zi bo'ladi?
Diagonal matritsa har o'qni mustaqil ravishda cho'zadi/qisqartiradi va o'qlarni bir-biriga aralashtirmaydi — shuning uchun o'qlarning o'zi yo'nalishini saqlaydi, faqat masshtablanadi.
Sizda biror rasm bor. Uni kompyuterda eniga 2 marta, boʻyiga esa 3 marta choʻzmoqchisiz. Agar rasm ichidagi biror nuqta 4, 5 koordinatada turgan boʻlsa, transformatsiyadan keyin u qaysi nuqtaga koʻchadi?
Bu juda oddiy koʻpaytirish. Eni (X oʻqi) 2 marta, boʻyi (Y oʻqi) 3 marta kattalashadi:
Natija yangi vektor boʻladi:8, 15
Grafikda bitta funksiya chizilgan. Agar biz \(x = 2\) nuqtaga chap tomondan yaqinlashsak, grafik balandligi \(5\) ga intilmoqda. Agar shu nuqtaga oʻng tomondan yaqinlashsak, grafik balandligi \(3\) ga intilmoqda. \(x = 2\) nuqtada funksiyaning umumiy limiti mavjudmi?
Yoʻq, limit mavjud emas. Chunki limit mavjud boʻlishi uchun chapdan kelgan yoʻl ham, oʻngdan kelgan yoʻl ham aynan bitta balandlikda (nuqtada) tutashishi shart. Ikki xil raqam chiqsa, limit yoʻq deb hisoblanadi.
Bir talaba: "Determinant juda kichik musbat son bo'lsa (masalan 0.0001), amalda muammo yo'q — axir u 0 emas" deydi. Bu fikrga to'liq qo'shilish mumkinmi? Nega?
Rasman det≠0 bo'lsa teskari mavjud, lekin det nolga juda yaqin bo'lganda matritsa "deyarli singular" bo'ladi — bu holatda teskari matritsa hisoblanadi, ammo u juda beqaror (kichik xatolar katta natija farqiga olib keladi). Demak "0 emas" degani "amalda ishonchli" degani emas.
Agar learning rate juda katta tanlansa (masalan lr=0.2), gradient descent bilan nima sodir bo'ladi? Kod yozganda bu xatoni qanday aniqlash mumkin (debug usuli)?
w minimumdan "sakrab o'tib ketadi" — cost kamayish o'rniga kattalashib boradi (masalan w=−126, cost=30720 gacha o'sishi mumkin). Debug usuli: har qadamda cost qiymatini chop qilib kuzatish — agar u kamayish o'rniga oshsa, birinchi shubha lr juda katta ekanligi.
Agar matritsaning eigenvalue'laridan biri 0 bo'lsa, bu determinant va teskarilanish haqida nima deydi? Tushuntiring.
Eigenvalue'lar ko'paytmasi determinantga teng; agar bittasi 0 bo'lsa, det = 0 bo'ladi. Demak matritsa singular va teskarisi yo'q — bu eigenvalue mos keladigan yo'nalish "yo'qolib ketadi".
Agar biz smartfon ekranidagi rasmni ikki barmoq bilan faqat tepaga va pastga qarab cho'zsak, rasm ichidagi odamlarning yuzi qanday o'zgaradi?
Uzunchoq bo'lib qoladi. Chunki bu bir o'q bo'yicha (faqat Y o'qi) cho'zishdir. Agar rasm buzilmasdan kattalashsin desak, X va Y o'qlarini bir xil ko'paytirishimiz kerak edi.
Tasavvur qiling, vaqt oʻtishi bilan modelimiz xatoligi kamayib bormoqda. Funksiya grafigi pastga tushib, \(0\) chizigʻiga juda yaqinlashib boryapti, lekin hech qachon \(0\) ga tegmaydi (parallel ketadi). \(x \to \infty\) (vaqt cheksizga ketganda) bu funksiyaning limiti nechaga teng boʻladi?
Limit \(0\) ga teng. Matematikada limit aniq oʻsha raqamga borib urilishni talab qilmaydi, u cheksiz yaqinlashayotgan masofani (marra chizigʻini) limit deb qabul qiladi.
Kodda np.linalg.det(A) → 1.0 chiqqach, dasturchi keyingi qatorda np.round(A @ A_inv) ishlatgan. np.round bo'lmasa nima "chiroyli bo'lmay" qolishi mumkin edi?
Float (suzuvchi nuqta) hisoblash xatoligi tufayli natija toza [[1,0],[0,1]] emas, balki [[1.0000001, -0.0000003],...] kabi chiqishi mumkin. np.round shu kichik xatolarni tekislab, aniq identity ko'rinishini beradi.
x = [2, 4, 6], y = [4, 8, 12] ma'lumoti berilgan. w = 1 nuqtasida gradientning ishorasi (manfiy/musbat/nol) qanday bo'ladi va nega? (Formulani qo'llab, mantiqiy asoslang — to'liq son hisoblash shart emas, faqat ishorani aniqlash kerak.)
Manfiy bo'ladi. Sababi: haqiqiy bog'lanish y=2x (eng yaxshi w=2), lekin w=1 bu qiymatdan kichik — demak model "kam bashorat qilyapti" (pred < y har bir nuqtada), ya'ni (w·xᵢ−yᵢ) manfiy, xᵢ esa musbat, shuning uchun yig'indi manfiy chiqadi — bu bizga w ni OSHIRISH kerakligini ko'rsatadi.
Xos vektor (eigenvector) ta'rifiga ko'ra, \(Av = \lambda v\) tenglama bajarilganda, \(v\) vektori qanday shartni qondirishi shart?
Slaydda "XATO TUZOG'I: np.cos(45) — bu 45 RADIAN!" deb ogohlantirilgan. Bu xato nima uchun kod ishga tushganda darrov sezilmasligi mumkin?
Kod xatosiz ishlaydi — kompyuter 45 ni gradus emas, RADIAN deb tushunadi, bu butunlay boshqa burchak. Kod xato bermaydi, faqat noto'g'ri son chiqaradi, shuning uchun natijani taniqli burchak bilan solishtirmasangiz xato ko'zga tashlanmasdan qolib ketadi.
sp.diff(3*x**2 + 5*x - 7) natijasini KOD ISHLATMASDAN ayting. Power rule qoidasi
6x + 5.
(3x² ning hosilasi 6x, 5x ning hosilasi 5, o'zgarmas −7 ning hosilasi 0.)