Integralregning og differentialregning
Hvad er den afledede af f(x)=ln(x), x>0?
Det er f'(x)=1/x, x>0.
Hvad kalder man metoden for at tjekke, om en funktion løser en differentialligning?
Metoden "gøre prøve".
Beskrivelse af metoden udløser også 100 point.
Lad f(x)=x2-2x. Hvad er løsningerne til ligningen f(x)=0?
Vha. nulreglen fås x=0 v x=2.
Vinkelret.
Hvad hedder μ og σ i en normalfordeling?
μ siges (my) og σ siges (sigma). De angiver hhv. middelværdien og spredningen.
Hvad er stamfunktionen til f(x)=x2?
Det er F(x)=x3/3+k
Hvad er løsningen til y'=y
Funktionen, der giver sig selv... Dvs. y=ex.
Lad f(x)=x2-4x+2. Har funktionen et maksimum eller et minimum? Og er der tale om et lokalt og globalt maksimum/minimum eller er der kun tale om et lokalt maksimum/minimum? Begrund svaret.
Der er tale om et lokalt OG globalt minimum, da parablen er konveks.
Hvad betyder det rent geometrisk for to vektorer, når deres skalarprodukt er lig 0.
Vektorerne er ortogonale.
Lad X~N(μ,σ). Hvad kalder man f(x) og F(x)
f(x) er tæthedsfunktionen og F(x) er fordelingsfunktionen.
Givet integralet ∫8x(x2+4)3dx. Hvilken metode skal man bruge her?
Substitutionsmetoden. Sæt t=x2+4.
En funktion f løser y'=x+2y. Det oplyses, at f gennemløber (1,-1). Hvad er ligningen for tangenten?
Vi har x0=1, y0=-1, så er y'0=1+2(-1)=-1. Dermed er den søgte tangent y=-1(x-1)-1=-x+1-1=-x.
Hvad giver sin(3π/2)
Det giver -1.
Hvilken vektorfunktion har en hastighedsvektor, der altid er vinkelret på sin stedvektor, for enhver værdi af t?
Det er parameterfremstillingen for en cirkel med centrum i origo og radius r.
Ja. Eleven har ret. Da f(x) er symmetrisk omkring middelværdien, som er 20, så må det betyde, at afstanden fra x=5 til x=20 er det samme som x=20 til x=35. Derfor får man samme funktionsværdi.
Et område M har et areal. Hvad er arealet af området M i intervallet ]1;2[, når det oplyses, at
∫12 f(x)dx=-8 og ∫12 g(x)dx=4,
hvor g(x)>f(x).
Arealet af M er 12. g(x)>f(x). Det skyldes ∫12 g(x)-f(x)dx=4-(-8)=4+8=12.
Er differentialligningen y'=2xy2+5xy lineær og separabel?
Ja, differentialligningen er separabel, da x kan faktoriseres fås y'=x(2y2+5y), så her er h(x)=x og g(y)=2y2+5y. Den er dog ikke lineær.
Hvis f(x)=0.5x+2. Hvad er den inverse funktion f-1(x) til f(x)?
Den inverse funktion findes ved f(y)=x, og isoleres y fås 0.5y+2=x ⟺ y=2x-2. Dermed er f-1(x)=2x-2.
Hvad er værdierne af de rektangulære koordinater, når man har polære koordinater (r,θ)=(5,π/2)?
De er hhv. x=5cos(π/2)=5⋅0=0 og y=5sin(π/2)=5⋅1=5, dvs. (x,y)=(0,5).
Nej, der er ikke statistisk grundlag for en sammenhæng mellem x og y. Konfidensintervallet for hældningskoefficienten er [-0.12;0.24]. Da intervallet indeholder 0, kan hældningskoefficienten være a=0. Det betyder, at man ikke kan afvise, at der ikke er nogen lineær sammenhæng mellem x og y.
Hvad er stamfunktionen til funktionen f(x)=ln(x)?
F(x)=x ln(x)-x+k.
Hvad er de to vigtigste forudsætninger om g(y), hvis man skal løse differentialligningen af typen y'=h(x)g(y)?
At g(y) er forskelligt fra 0, da man i metoden separation af de variable skal dividere med g(y). Derudover skal g(y) være kontinuert.
Da r=2, t=3 og s=1 er arten bestemt til r⋅t-s2=2⋅3-12=5. Da arten er positiv og r er positiv, så er det stationære punkt et lokalt minimum!
Kan I huske formlen for cosinusrelationen til en side i en trekant ABC, fra dengang I gik i 1.g?
Det kan være f.eks.
a2=b2+c2-2⋅b⋅c⋅cos(A)
Givet μ=10 og σ=2. Hvad giver P(10<X<12)?
Da normalfordelingen er symmetrisk om middelværdien, så er P(10<X<12)=P(8<X<12)/2. Formelsamlingen s. 42 siger, at sandsynligheden for, at X ligger inden for ±1 spredning fra middelværdien, er lig med 0.6827. Derfor er P(10<X<12)=0.6827/2=0.34135