Grenzwerte & Stetigkeit
Wie bezeichnet man das Verhalten der Funktionswerte einer Funktion f für x --> ∞ und x --> -∞?
Als Globalverlauf einer Funktion
Nenne den Differenzenquotienten.
Differenzenquotient: (f(b) - f(a)) / (b - a)
Wie lautet die Ableitungsfunktion der Funktion f(x) = u(x) - v(x)?
f'(x) = u'(x) - v'(x)
Definiere den Begriff der Ableitungsfunktion.
Als Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f bezeichnet man die Funktion, die jeder Stelle x die Ableitung f'(x) (also die Steigung an dem Punkt) an dieser Stelle zuordnet.
Vervollständige die Lücken: Eine differenzierbare Funktion f ist im Intervall I genau dann ..(1).. wenn für alle x ∈ I gilt: f'(x) ≥ 0 und genau dann ..(2).. wenn für alle x ∈ I gilt: f'(x) ≤ 0.
(1) monoton wachsend
(2) monoton fallend
Bestimme das Globalverhalten für f(x) = -12x5 + 2x8 - 2x4 + x3 + 5x9
für x --> ∞ geht f(x) --> ∞
für x --> -∞ geht f(x) --> -∞
Der Differenzenquotient beschreibt geometrisch die ..()..
Steigung der Sekante durch die Punkte P (a | f(a)) und Q (b | f(b)).
Erkläre die Faktorregel.
Sei u(x) mit der Ableitungsfkt. u'(x), dann gilt für f(x) = r * u(x): f'(x) = r * u'(x)
Leite f(x) = x4 ab
f'(x) = 4x3
Für die Funktion f(x) gilt:
f'(x0) = 0
f''(x0) < 0
Was sagt das über die Stelle x0 in der Ursprungsfunktion f(x) aus?
In der Ursprungsfunktion f(x) liegt an der Stelle x0 ein Hochpunkt vor.
Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (3x - x2) / (1 - 2x2) an der Stelle x0 = 0
limx --> 0 f(x) = 0
Erkläre den Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differenzialquotient.
Differenzenquotient: Durchschnittliche Steigung zwischen 2 Punkten
Differenzialquotient: Steigung an einer Stelle
Welche Regel ist anzuwenden, um die Funktion f(x) = (2x + 1)5 abzuleiten?
Kettenregel
Leite f(x) = 4 / (3x - 2) ab
f'(x) = -12 / (3x - 2)2
Beschreibe die 3 Eigenschaften, die in den Ableitungsfunktionen gelten, wenn ein Wendepunkt in der Ursprungsfunktion vorliegt.
1. Ableitung: Hat an der Wendestelle ein lokales Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt)
2. Ableitung: Ist an der Wendestelle gleich null und wechselt das Vorzeichen.
3. Ableitung: Ist an der Wendestelle ungleich null (Bestätigung für den Wendepunkt).
Untersuche ob die Funktion f(x) an der Stelle x0 = 1 stetig ist.
f(x):
x2 + 1 für x ≤ 1
3x für x > 1
Nicht stetig, kein gemeinsamer Grenzwert
Berechne den Differenzenquotienten für die Funktion f(x) = (x + 3) / (x - 2) im Intervall I [3;4].
(f(b) - f(a)) / (b - a) = (3,5 - 6) / (4 - 3) = -2,5
Gegeben sei h(x) = f(x) / g(x).
Jemand behauptet h'(x) = (f'(x) * g'(x) - f(x) * g(x)) / f2(x). Korrigiere die Fehler.
h'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g2(x)
Leite f(x) = tan(x) ab
f'(x) = 1 / cos2(x)
Berechne die Nullstellen dieser Funktionsschar in Abhängigkeit von dem Parameter a.
fa(x)= x3- 3ax
Für a ≥ 0:
x = 0, x 1/2 = +- Wurzel aus 3a
Für a < 0:
x = 0
Bestimme die Grenzwerte der Funktion f(x) = (x2 - 1) / |x - 1| an der Stelle x0 = 1
1. Fall: limx --> 1 = 2
2. Fall: limx --> 1 = -2
Gegeben sei die Funktion f(x) = x2 + 2x.
Stelle die Gleichung der Sekante auf, die durch die Punkte für x1 = 1 und x2 = 2 verläuft.
s(x) = 5x - 2
Gegeben sei f'(x) = 3x2 * cos(x) + x3 * (-sin(x)).
Welche Regel wurde bei der Ableitung der Ursprungsfunktion f(x) = x3 * cos(x) verwendet?
Produktregel
Leite f(x) = exˆ3 + sin(x)
f'(x) = exˆ3 + sin(x) * (3x2 + cos(x))
Es gilt: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2
Berechne die Koordinaten des Wendepunkts dieser Funktion.
W = (2/4)