Elementos de cálculo

Conceptos básicos

100

¿Qué significa que lim⁡_x→af(x)=L?

Que cuando "x" se acerca a "a", "f(x)" se acerca a "L"

200

Diferencia entre límite infinito y límite que tiende al infinito.

Límite infinito: el valor de la función se hace arbitrariamente grande. Límite que tiende al infinito: la variable x crece sin límite.

300

¿Toda función derivable es continua?

Correcto, toda función que sea derivable en un punto también es continua en ese punto. 

400

¿Toda función continua es derivable?

Incorrecto, por ejemplo, en un punto dado, la función puede ser continua pero no derivable. Gráficamente identificaremos una función continua no derivable si en un punto dado se presenta algún "pico".

500

¿Qué es una indeterminación?

Una forma matemática que no da un valor definido (ej. 0/0, ∞/∞)

Límites

100

lim_x→3(2x+1)

7

200

lim_x→−2(x²−4)

0

300

lim_x→0sinx/x

1

400

lim_⁡x→1(x²−1)/(x−1)

2

500

lim_x→−∞(x-1)/(3x+(16x²−3)^1/2)

-1

Derivadas

100

¿Cuál es la derivada de x²+3x?

2x+3

200

¿Cuál es la derivada de sen(x)+2pi?

cos(x)

300

¿Cuál es la derivada de 5x²cos(x)?

5(2xcos(x)-x²sen(x))=10xcos(x)-5x²sen(x)

400

((2x+3)/e^x+2)²

2((2x+3)/e^x+2)*(2e^x+2-e^x+2(2x+3))/(e^x+2)²

500

¿Cuál es la derivada de 2^(-4x+x^(1/2))?

ln(2)*2^{-4x+x^(1/2)}*(-4+x^-1/2/2)

Continuidad de funciones

100

¿Un polinomio es una función continua en todo su dominio?

Correcto.

• Los polinomios se construyen a partir de sumas, restas y multiplicaciones de funciones del tipo xⁿ.

• Cada función potencia xⁿ es continua en R.

• La suma, resta y multiplicación de funciones continuas sigue siendo continua.

200

¿El producto de dos funciones continuas es una función continua?

Correcto, el producto de dos funciones continuas es siempre continuo (en todo el dominio donde ambas lo son).

300

¿El cociente de dos funciones continuas es SIEMPRE una función continua?

No siempre ocurre, porque la función que se encuentra en el cociente debe ser diferente de 0.

400

¿Qué tipos de discontinuidad pueden existir en una función? Describa una

Discontinuidad evitable: cuando existe el límite en el punto dado.

Discontinuidad inevitable: cuando el límite en el punto dado, no existe.

500

Clasifique alguno de los puntos de discontinuidad de la función f(x)=2(x-2)/(x²-4). Los puntos de discontinuidad son x=2 y x=-2

Análisis de x=2 (límite existe por lo tanto, la discontinuidad es evitable)

Lím_x→22(x-2)/((x-2)(x+2))=Lím_x→22/(x+2)=1/2

Análisis de x=-2 (límite NO existe por lo tanto, la discontinuidad es inevitable)

Lím_x→-2-2/(x+2)=−∞ y Lím_x→-2+2/(x+2)=+∞