Analysis
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x³?
f'(x) = 3x²
Wie lautet die Ableitung von f(x) = cos(x)?
f'(x) = −sin(x)
Was beschreibt ein bestimmtes Integral geometrisch?
Den orientierten Flächeninhalt (auch Flächenbilanz genannt) zwischen dem Graphen und der x-Achse im Integrationsintervall.
Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln?
1/6 ≈ 16,7 %
Wie viel Prozent sind 5/8?
62,5%
Welche Nullstellen hat die Funktion f(x) = x² − 9?
x₁ = −3 und x₂ = 3
Bestimme die Ableitung von f(x) = 3x² − 4x + 2.
f'(x) = 6x − 4
Berechne das Integral von 0 bis 2 über f(x) = x.
2
Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal Kopf zu erhalten?
(1/2)³ = 1/8 = 12,5 %
Löse die Gleichung 3x − 7 = 11.
x = 6
Welche waagerechte Asymptote besitzt die Funktion f(x) = 2 + 1/x?
y = 2
Bestimme die Ableitung von f(x) = e^(2x) + ln(x).
f'(x) = 2e^(2x) + 1/x
Gib eine Stammfunktion von f(x) = 3x² − 4 an.
F(x) = x³ − 4x + C
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,3. Wie groß ist der Erwartungswert von X?
E(X) = n·p = 20·0,3 = 6
Ein Preis wird zuerst um 20 % erhöht und anschließend um 20 % gesenkt. Liegt er danach wieder beim ursprünglichen Preis?
Nein. 1,2 · 0,8 = 0,96. Der neue Preis liegt 4 % unter dem ursprünglichen Preis.
Welchen Grenzwert hat (2x² + 3)/(x² − 1) für x → ∞?
2
An welchen Stellen im Intervall [0; 2π] besitzt f(x) = cos(x) Extrempunkte? Gib auch die Art der Extrempunkte an.
Hochpunkte bei x = 0 und x = 2π; Tiefpunkt bei x = π.
Welchen Flächeninhalt schließen f(x) = x und die x-Achse zwischen x = 0 und x = 3 ein?
A = 9/2 = 4,5 FE
Ein Basketballspieler trifft einen Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit 0,8. Er wirft fünfmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau viermal trifft?
P(X=4) = 5·0,8⁴·0,2 = 0,4096 ≈ 40,96 %
Für welche reelle Zahl x gilt 2ˣ = 8?
x = 3
Bestimme alle Extremstellen der Funktion f(x) = x⁴ − 8x².
-2; 0 ; 2
Bestimme die Extremstelle der Funktion f(x) = x · e^(−x).
f'(x) = e^(−x)(1−x). Daher x = 1.
Für welchen Wert von a > 0 beträgt die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x², der x-Achse und den Geraden x = 0 und x = a genau 9 Flächeneinheiten?
∫₀ᵃ x² dx = ... = a³/3
a³/3 = 9 ⇒ a³ = 27 ⇒ a = 3
Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 5 % defekt. Es werden 20 Bauteile unabhängig kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Bauteil defekt ist?
P(X≥1) = 1−P(X=0) = 1−0,95²⁰ ≈ 64,15 %
In einem Intervall gilt f'(x) > 0 und f''(x) < 0. Was lässt sich daraus über den Graphen von f sagen?
Der Graph steigt, aber die Steigung nimmt ab. Er ist in diesem Intervall rechtsgekrümmt