Funktioner
Hvad betyder det, at en funktion er en sammenhæng mellem x og y?
At hver x-værdi kun har en bestemt y-værdi.
Hvad er funktionen for en andengradsfunktion?
f(x)=ax^2+bx+c
Hvad kendetegner en eksponentiel funktion?
En eksponentiel funktion har formen f(x)=b⋅ax, hvor a>0, og den beskriver udvikling med fast procentvis vækst eller fald.
Hvad kendetegner en førstegradsfunktion?
En førstegradsfunktion har formen f(x)=ax+bf, hvor grafen er en ret linje.
Hvad betyder det at differentiere en funktion?
At finde en ny funktion, der beskriver hældningen (ændringshastigheden) af den oprindelige funktion.
Beregn f(4): f(x)=2x+3
2*4+3=11
Beregn f(2): f(x)=x2+3x−2
f(2)=2^2+3⋅2−2=4+6−2=8
Beregn 3^4
3^4=3⋅3⋅3⋅3=81
En funktion er givet ved f(x)=2x+5. Beregn f(3).
f(3)=2⋅3+5=6+5=11
En funktion er givet ved f(x)=3x2.
Find f′(x).
f′(x)=6x
Forskel på lineær og ikke-lineær funktion?
Lineær har konstant ændring (ret linje), ikke-lineær har variabel ændring (kurve)
Hvad betyder det, at grafen for en andengradsfunktion har et toppunkt?
Toppunktet er enten funktionens højeste (maksimum) eller laveste punkt (minimum) og afhænger af fortegn på a.
Hvad betyder det, at en funktion vokser med 5% pr. gang?
Det betyder, at værdien ganges med 1,05 for hver gang x øges med 1.
Hvad betyder hældningen i en lineær funktion?
Hældningen fortæller, hvor meget y ændrer sig, når x stiger med 1
Hvad fortæller den afledte funktion f′(x) om grafen?
Den viser hældningen på grafen i hvert punkt, altså hvor hurtigt funktionen vokser eller falder.
Find f(5) og f(-1): f(x)=x^2-4x+1
f(5)=25-20+1=6
f(-1)=1+4+1=6
Beregn f(2) og f(-1): f(x)=2x^2−3x+4.
f(2)=2⋅2^2−3⋅2+4=2⋅4−6+4=8−6+4=6
f(−1)=2⋅(−1)^2−3⋅(−1)+4=2⋅1+3+4=9
En funktion er givet ved
f(x)=200⋅1.1^x
Beregn f(3)
f(3)=200⋅1.1^3=200⋅1.331=266.2
En funktion er givet ved f(x)=4x−7.
Find x, når f(x)=9.
4x−7=9
4x=16
x=4
En funktion er givet ved f(x)=x^2−4x+1.
Find f′(x) og beregn f′(3).
f′(x)=2x−4
f′(3)=2⋅3−4=6−4=2
Et mobilabonnement koster 99 kr i fast abonnement og 2 kr pr. minut du taler.
Opgave:
Opskriv en funktion, der beskriver den samlede pris som funktion af antal minutter. Forklar derefter, hvad tallene i funktionen betyder i virkeligheden.
Funktion: f(x)=99+2x
Hældning: 2 = pris pr. minut
Skæring: 99 = fast abonnement
En andengradsfunktion er givet ved
f(x)=x^2−6x+8
Forklar hvad grafen for funktionen viser i virkeligheden
Funktionen beskriver en parabel (en U-formet kurve).
Grafen falder først og stiger derefter, fordi a>0.
En mobilapp har 1000 brugere, og antallet vokser med 20% om måneden.
Opstil en funktion, og forklar hvad tallene betyder i virkeligheden.
Funktion: f(x)=1000⋅1.2^x
1000 er startantallet af brugere
1.2 betyder 20% vækst pr. måned
Væksten bliver hurtigere over tid, fordi den er procentvis
Et fitnesscenter koster 199 kr i oprettelse og 59 kr pr. måned.
Opskriv en funktion, og forklar hvad tallene betyder i virkeligheden.
Funktion: f(x)=199+59x
199 er startgebyret
59 er prisen pr. måned
Funktionen viser den samlede pris efter x måneder
En ballon fyldes med luft, og dens volumen kan beskrives ved funktionen
V(t)=t2+4t, hvor tt er tid i sekunder.
Forklar hvad den afledte funktion betyder i denne situation, og hvad den fortæller om ballonens udvikling.
Den afledte funktion beskriver, hvor hurtigt ballonens volumen ændrer sig over tid.
Den viser altså væksthastigheden for volumen.
Her er V′(t)=2t+4, som betyder at ballonens volumen vokser hurtigere og hurtigere med tiden.