Derivata
Derivera funktionen f(x)= 2x4 − 6x + 10
f′(x)= 8x3 − 6
Beräkna värdet av integralen ∫ 3x2 dx (Intervallet är 0≤x≤2)
8
Lös ekvationen 10x=5. Svara avrundat till 3 decimaler
x = lg(5) = 0.699
alt. x = ln(5) / ln(10) = 0.699
Vilket värde har sin(v) om punkten på enhetscirkeln för vinkeln v har koordinaterna (0,6;0,8)?
0,8 (y-koordinaten i enhetscirkeln motsvarar sinusvärdet).
Antalet bakterier N i en skål ökar enligt modellen N(t)= 500⋅e0.4t, där t är tiden i timmar. Hur många bakterier finns det från början?
500
Vad är derivatan av f(x) = e4x − 3ex ?
f′(x)= 4e4x − 3ex
Ange samtliga primitiva funktioner till f(x)= 1 / x2
F(x) = − 1 / x + C (eller -x-1)
Beräkna det exakta värdet av lg(1000) (tiobas) + ln(e2)
5
3 + 2 = 5
Räkna ut: cos(900) + sin(900) - cos(00)
0 + 1 - 1 = 0
Temperaturen T hos en patient som har feber sjunker efter att man gett medicin. Temperaturen följer modellen T(t)=40−0,2t2, där t är tiden i timmar efter att medicinen tagits. Hur snabbt sjunker temperaturen (i grader per timme) exakt 2 timmar efter att medicinen tagits?
T'(t) = -0.4t
T'(2)= -0.4 * 2 = -0.8
Svar: temperaturen förändras med -0,8 grader per timme, det vill säga att den sjunker med 0,8 grader per timme.
Derivera funktionen f(x) = 10x + eπ (pi)
f′(x) = 10x⋅ ln(10)
Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) och F(x)=e2x, vad är då f(x)?
f(x) = 2e2x (Eftersom F′(x) = f(x))
Skriv om uttrycket lg(200)+lg(50) som ett heltal.
lg(200 * 50) = lg(10 000) = 4
En triangel har två sidor som är 6 cm och 8 cm. Mellanliggande vinkel är 300. Beräkna triangelns area.
A =(6⋅8⋅sin(300))/2. Eftersom sin(300) = 0,5 blir det (48⋅0,5)/2 = 24/2 = 12 a.e
Mängden av ett miljögift i en sjö minskar enligt modellen M(t)=100⋅e-0,05t, där t är tiden i år. Hur lång tid tar det innan det bara finns 50 mg kvar? Svara exakt.
50 = 100 ⋅ e-0,05t
0.5 = e-0.05t
ln(0.5) = -0.05t
t = ln(0.5) / - 0.05
Bestäm f′(x) om f(x)=(x)1/2⋅(x)2/3
f′(x)=7/6⋅x1/6
Om ∫ f(x) dx = 5 (från 1 till 3), vad är då värdet av ∫ (f(x)+2) dx (Intervallet är 1≤x≤3)?
5 + ∫ 2 dx = 5 + ((2*3) - (2*1)) = 5 + (6 - 2) = 5 + 4 = 9
Den andra delen är arean under en rät linje (y=2) från x=1 till x=3. Det är en rektangel med bredden 2 och höjden 2, alltså arean 4.
Lös ut x ur ekvationen ln(x3)=6.
3ln(x)=6 ⇒ ln(x)=2 ⇒ x=e2
I en triangel är sidan a=10, sidan b=12 och vinkeln A=400. Hur många möjliga trianglar kan bildas med dessa mått? Motivering krävs.
Två stycken eftersom vid användning av sinussatsen sinB/12= sin400/10 får man ett värde på sinB. Eftersom sin(v) = sin(180−v) och båda vinklarna (tillsammans med 400) är mindre än 1800, finns det två giltiga trianglar.
Genom ett trasigt rör läcker förorenat vatten ut i en sjö. Flödeshastigheten v(t) beskrivs av funktionen v(t)=150+20t liter/dygn, där t är tiden i dygn från att läckan startade. Beräkna hur många liter som totalt har läckt ut i sjön under de första 5 dygnen.
∫ 150 + 20t dt (Intervallet är 0≤t≤5)
Integralen av flöde (v) blir volym (V)
svar: 1000 liter
Grafen till funktionen f(x)= x3+kx har en tangent i punkten där x=1. Denna tangent är parallell med linjen y=5−x.
Bestäm värdet på konstanten k.
x = 1 och derivatan ska vara -1 eftersom parallell
f'(1) = 3 + k = -1
k= -4
Bestäm det positiva värdet på a så att:
F(x) = x3.
Insättning ger: a3 −(−a)3 = a3 −(−a3)= 2a3
Ekvationen blir 2a3 = 54 ⇒ a3 = 27
a=3
ln(1/x) + ln(3) = 1
ln(1/x) = ln(1) − ln(x) = 0 − ln(x) = − ln(x)
− ln(x) + ln(3) = 1 <-> ln(3/x) = 1
3/x = e^1
3/x = e
x = 3 / e
En triangel har sidorna 3, 5 och 7 längdenheter. Är triangelns största vinkel spetsig, rät eller trubbig?
Största vinkeln V står mot längsta sidan (7)
Eftersom cosinusvärdet är negativt måste vinkeln vara trubbig (över 90∘).
Du ska stängsla in en rektangulär hage längs en rak mur (muren fungerar som en av sidorna, så det behövs inget stängsel där). Du har totalt 40 meter stängsel. Vilken är den största möjliga area som hagen kan få?
Korta sidor: x
Långa sidan: 40-2x (40m totalt minus dem korta sidorna)
A(x) = x(40-2x) = 40x - 2x2
A'(x) = 40 - 4x
40 - 4x = 0 <-> 40 = 4x <-> x=10
40 - 2 *10 = 20
A = 20m * 10m = 200m2