Ableitungen
100 – Wie lautet die Potenzregel zum Ableiten von f(x) = xⁿ?
→ f′(x) = n · x^(n−1)
100 – Was sagt die Bedingung f′(x) = 0 aus?
→ Notwendige Bedingung für eine Extremstelle (waagerechte Tangente)
100 – Was gibt die Zahl m in der Geradengleichung y = m·x + b an?
→ Die Steigung der Geraden
100 – Wie heißt die Formel zum Lösen einer Gleichung der Form x² + px + q = 0?
→ pq-Formel (alternativ Mitternachts- bzw. abc-Formel)
100 – Was beschreibt die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion s(t)?
→ Die (momentane) Geschwindigkeit
200 – Leite ab: f(x) = 3x⁴ + 3x + 2
→ f′(x) = 12x³ + 3
200 – Welche notwendige Bedingung gilt für einen Wendepunkt?
→ f″(x) = 0 (mit Vorzeichenwechsel von f″)
200 – Bestimme die Nullstellen von f(x) = x² − 9
→ x = 3 und x = −3
200 – Löse x² = 25
→ x = 5 und x = −5
200 – Was beschreibt die zweite Ableitung des Weges s(t)?
→ Die Beschleunigung
300 – Leite ab: f(x) = 3·cos(x)
→ f′(x) = −3·sin(x)
300 – Bestimme die Extremstelle von f(x) = x² − 6x + 5
→ f′(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3 (Tiefpunkt)
300 – Nenne den Scheitelpunkt von f(x) = (x − 2)² + 3
→ S(2 | 3)
300 – Löse x² − 5x = 0
→ x(x − 5) = 0 → x = 0 und x = 5
300 – Freier Fall: s(t) = 5t². Welche Geschwindigkeit liegt nach 2 s vor?
→ s′(t) = 10t → s′(2) = 20 m/s
400 – Leite ab: f(x) = 1/x³ + √x (umschreiben: x⁻³ + x^½)
→ f′(x) = −3/x⁴ + 1/(2√x)
400 – Bestimme alle Extremstellen von f(x) = x³ − 3x
→ f′(x) = 3x² − 3 = 0 → x = 1 und x = −1
400 – Vereinfache (2³ · 2⁴) / 2⁵
→ 2² = 4
400 – Löse x³ − 4x = 0
→ x(x² − 4) = 0 → x = 0, x = 2, x = −2
400 – Mittlere Änderungsrate von f(x) = x² im Intervall [1; 3]?
→ (9 − 1)/(3 − 1) = 4
500 – Leite mit der Produktregel ab: f(x) = x²·sin(x)
→ f′(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
500 – Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 3x² + 1
→ f″(x) = 6x − 6 = 0 → x = 1, f(1) = −1 → WP(1 | −1)
500 – Löse 2^(x+1) = 32
→ 2^(x+1) = 2⁵ → x + 1 = 5 → x = 4
500 – Löse x² − 6x + 8 = 0
→ x = 2 und x = 4
500 – Eine Achterbahn wird durch h(x) = −x² + 4x beschrieben. Wie hoch ist der höchste Punkt?
→ h′(x) = −2x + 4 = 0 → x = 2, h(2) = 4 (Höhe 4)