Limites
¿Qué representa intuitivamente el límite de una función en un punto?
El valor al que se acercan los resultados de una función cuando la variable independiente se aproxima a un número dado.
¿Qué permiten las reglas básicas de los límites?
Calcular límites de sumas, restas, productos o cocientes a partir de los límites de sus componentes.
¿Qué significa que una función sea continua en un punto?
Que no tiene saltos, huecos ni interrupciones en ese punto.
¿Qué indica que el límite de una función sea infinito en un punto?
Que los valores de la función crecen o disminuyen sin límite al acercarse a ese punto.
¿Qué representa la derivada de una función en un punto?
La pendiente de la recta tangente en ese punto, o la velocidad de cambio instantánea.
Si una gráfica tiene un “hueco” en un punto, pero las ramas se aproximan al mismo valor, ¿qué puedes decir del límite?
El límite existe, aunque la función no esté definida en ese punto.
En una función definida por tramos, ¿qué condición debe cumplirse para que tenga límite en el punto de unión?
Que los límites laterales en ese punto sean iguales.
¿Qué tres condiciones garantizan la continuidad de una función en un punto?
Que la función esté definida, que el límite exista y que el valor del límite coincida con el valor de la función.
¿Qué representa una asíntota vertical en una gráfica?
Una línea a la que la función se acerca cuando los valores se disparan al infinito.
Si una función tiene una gráfica con una esquina o vértice agudo, ¿qué sucede con la derivada en ese punto?
No existe, porque la pendiente cambia bruscamente.
Si una tabla muestra que los valores por la izquierda se acercan a 2 y los valores por la derecha se acercan a 5, ¿qué se puede concluir?
Que los límites laterales son distintos y por tanto el límite general no existe.
¿Qué afirma el teorema del compresión o del sándwich?
Que si una función está entre dos funciones que tienden al mismo valor, entonces también tiende a ese valor.
Si una función es continua en dos intervalos y se suman, ¿qué ocurre con la continuidad de la suma?
La suma también es continua, ya que la continuidad se conserva bajo operaciones básicas.
Si al crecer la variable, la función se aproxima a una altura fija, ¿qué tipo de límite es?
Un límite en el infinito, que corresponde a una asíntota horizontal.
¿Qué implica que una función sea diferenciable en un punto?
Que su derivada existe allí, y por lo tanto es continua.
¿Qué diferencia hay entre un límite lateral derecho y uno lateral izquierdo?
En el límite derecho se consideran valores mayores que el punto, y en el izquierdo valores menores.
Describe una situación en la que usarías el teorema del sándwich.
Cuando una función es difícil de evaluar directamente, pero se puede acotar entre dos más simples con límites conocidos.
¿Qué establece el teorema del valor intermedio?
Que una función continua en un intervalo cerrado toma todos los valores comprendidos entre los valores que alcanza en los extremos del intervalo.
Si al avanzar hacia valores grandes, la función se aplana y se acerca al eje horizontal, ¿qué valor tiene su límite en el infinito?
Cero, lo que indica que el eje actúa como asíntota horizontal.
Derivada de sen, cos, tan, ln, sumas y restas
sen -> cos //cos -> -sen //tan -> sec^2 // ln -> 1/x // la derivadad de una suma o resta es la suma o resta de las derivadsa
Si una función crece sin límite al acercarse a cierto punto, ¿qué tipo de comportamiento presenta la gráfica?
Un límite infinito, que corresponde a la presencia de una asíntota vertical.
Si una función tiene límites laterales distintos en un punto, pero está definida en ese punto, ¿qué sucede con la continuidad?
No es continua, ya que el límite no existe, aunque tenga valor en ese punto.
¿Qué garantiza el teorema de continuidad de funciones compuestas?
Que la composición de funciones continuas también es continua, siempre que la función interior esté dentro del dominio de la exterior.
Si la función tiene comportamientos distintos al infinito positivo y al infinito negativo, ¿qué se puede afirmar?
Que posee diferentes asíntotas horizontales en cada extremo.
Una función definida por tramos es continua y diferenciable en todos sus puntos excepto en el origen, donde los límites laterales existen y son iguales, pero las pendientes desde cada lado son distintas. ¿Qué ocurre en el origen?
Una función definida por tramos es continua y diferenciable en todos sus puntos excepto en el origen, donde los límites laterales existen y son iguales, pero las pendientes desde cada lado son distintas. ¿Qué ocurre en el origen?