Show:
Advanced Trigonometric Identities/Equations
Quadratic Form (Trig Equations)
Simple Trigonometric Inequalities
Derivatives (Definition + Trigonometric)
Tangent & Extremum
100

  • EN: State the Pythagorean identity.

  • KZ: Пифагор теңдікті жазыңыз.


    • sin²x + cos²x = 1

100

  • EN: Solve cos²x – cosx = 0 on [0, 2π].

  • KZ: cos²x – cosx = 0 теңдеуін [0, 2π] аралығында шешіңіз.

cosx = 0 (x = π/2, 3π/2), cosx = 1 (x = 0, 2π).

100

  • EN: Solve sinx > 0 on [0, 2π].

  • KZ: sinx > 0 теңсіздігін [0, 2π] аралығында шешіңіз.

x ∈ (0, π).

100

  • EN: Find derivative of f(x) = x² by definition.

  • KZ: f(x) = x² функциясының туындысын анықтамамен табыңыз.


    • f′(x) = 2x.

100

  • EN: Find slope of tangent for y = x² at x = 1.

  • KZ: y = x² функциясының жанама еңісін x = 1 нүктесінде табыңыз.


    • f′(1) = 2 → slope = 2.

200

  • EN: Express tan²x in terms of sec²x.

  • KZ: tan²x функциясын sec²x арқылы өрнектеңіз.


    • tan²x = sec²x – 1

200

  • EN: Solve 2sin²x – sinx – 1 = 0.

  • KZ: 2sin²x – sinx – 1 = 0 теңдеуін шешіңіз

sinx = –1/2, sinx = 1.

200

  • EN: Solve cosx < 0 on [0, 2π].

  • KZ: cosx < 0 теңсіздігін [0, 2π] аралығында шешіңіз.


    • x ∈ (π/2, 3π/2).


200

  • EN: Differentiate f(x) = sinx.

  • KZ: f(x) = sinx функциясының туындысын табыңыз.


    • f′(x) = cosx.

200

  • EN: Find tangent line for y = x² at x = 2.

  • KZ: y = x² функциясының жанамасын x = 2 нүктесінде табыңыз.

Point (2,4), slope = 4 → tangent: y – 4 = 4(x – 2) → y = 4x – 4.

300

  • EN: Simplify (1 – cos²x)/sin²x.

  • KZ: (1 – cos²x)/sin²x өрнегін ықшамдаңыз.

1

300

  • EN: Solve 2cos²x – 3cosx + 1 = 0.

  • KZ: 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 теңдеуін шешіңіз.

cosx = 1/2, cosx = 1.

300

  • EN: Solve tanx > 0 on [0, 2π].

  • KZ: tanx > 0 теңсіздігін [0, 2π] аралығында шешіңіз.

x ∈ (0, π/2) ∪ (π, 3π/2).

300

  • EN: Differentiate f(x) = cosx.

  • KZ: f(x) = cosx функциясының туындысын табыңыз.


    • f′(x) = −sinx.


300

  • EN: Find extremum of f(x) = x² – 4x + 3.

  • KZ: f(x) = x² – 4x + 3 функциясының экстремумын табыңыз.

f′(x) = 2x – 4 = 0 → x = 2, f(2) = −1 → minimum (2, −1).

400

  • EN: Prove that (1 – cos2x)/2 = sin²x.

  • KZ: (1 – cos2x)/2 = sin²x теңдігін дәлелдеңіз.


    • cos2x = 1 – 2sin²x.

400

  • EN: Solve tan²x – tanx = 0 on [0, 2π].

  • KZ: tan²x – tanx = 0 теңдеуін [0, 2π] аралығында шешіңіз.


tanx = 0 (x = 0, π), tanx = 1 (x = π/4, 5π/4).

400

  • EN: Solve sinx ≤ 1/2 on [0, 2π].

  • KZ: sinx ≤ 1/2 теңсіздігін [0, 2π] аралығында шешіңіз.

x ∈ [0, π/6] ∪ [5π/6, 2π].

400

  • EN: Differentiate f(x) = sin(3x).

  • KZ: f(x) = sin(3x) функциясының туындысын табыңыз.

f′(x) = 3cos(3x).

400

  • EN: Find maximum of f(x) = −x² + 4x + 5.

  • KZ: f(x) = −x² + 4x + 5 функциясының максимумын табыңыз.

f′(x) = −2x + 4 = 0 → x = 2, f(2) = 9 → maximum (2,9).

500

  • EN: Simplify (sin⁴x – cos⁴x)/(sin²x – cos²x).

  • KZ: (sin⁴x – cos⁴x)/(sin²x – cos²x) өрнегін ықшамдаңыз.


    • sin²x + cos²x = 1

500

  • EN: Solve 2cos²x – cosx – 1 = 0 on [0, 2π].

  • KZ: 2cos²x – cosx – 1 = 0 теңдеуін [0, 2π] аралығында шешіңіз.


    • cosx = –1/2, cosx = 1.

500

  • EN: Solve cos2x ≥ 0 on [0, 2π].

  • KZ: cos2x ≥ 0 теңсіздігін [0, 2π] аралығында шешіңіз.

x ∈ [0, π/4] ∪ [3π/4, 5π/4] ∪ [7π/4, 2π].

500

  • EN: Differentiate f(x) = cos(x²).

  • KZ: f(x) = cos(x²) функциясының туындысын табыңыз.

f′(x) = −sin(x²)·2x.

500

  • EN: Find tangent line at extremum point of f(x) = −x² + 6x − 5.

  • KZ: f(x) = −x² + 6x − 5 функциясының экстремум нүктесіндегі жанаманы табыңыз.

f′(x) = −2x + 6 = 0 → x = 3, f(3) = 4. Extremum is maximum at (3,4). Tangent slope = 0 → y = 4.