Математика 5 класс
Три последовательных натуральных числа дают в сумме 93. Найдите эти числа
Три последовательных натуральных числа дают в сумме 93. Найдите эти числа
На координатной прямой отмечены точки A(-3), B(1) и C(5). Найдите расстояние от середины отрезка AB до середины отрезка BC.
Ответ: 4 единицы
Решите уравнение с параметром: a(2x-1) = x+3. При каком a корень равен 2?
Ответ: a=⁵⁄₃
В треугольнике ABC: AB=AC, ∠A=50°. На стороне BC отмечена точка D так, что BD=AD. Найдите ∠ADC
Ответ: 115°
У стола отпилили один угол. Сколько углов стало?
Ответ: 5 углов
Сколько натуральных чисел, меньших 100, делятся на 3, но не делятся на 4?
Решение: Делятся на 3: 3,6,9,...,99 → 33 числа. Делятся на 3 и 4 (т.е. на 12): 12,24,...,96 → 8 чисел. 33 - 8 = 25
Ответ: 25 чисел
Циферблат часов разделён на 12 секторов. Какую часть круга составляет угол между часовой и минутной стрелками в 3 часа 30 минут? Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.
В 3 часа часовая стрелка на цифре 3, минутная на цифре 6
Между цифрами 3 и 6 — 3 деления из 12, то есть ³⁄₁₂ = ¼ круга
Но в 3:30 часовая стрелка сдвигается к цифре 4 на половину деления
Одно деление = 30°, половина деления = 15°
Угол между стрелками: 90° - 15° = 75°
Вся окружность = 360°, значит 75°/360° = ⁷⁵⁄₃₆₀ = ⁵⁄₂₄ после сокращения на 15
Ответ: ⁵⁄₂₄
Докажите тождество: (a+b)³ - 3ab(a+b) = a³ + b³
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³. Вычитаем 3ab(a+b)=3a²b+3ab². Получаем a³+b³
В треугольнике ABC на сторонах AB и AC отмечены точки D и E соответственно так, что AD = AE. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Известно, что ∠ABE = ∠ACD. Докажите, что треугольник OBC равнобедренный (OB = OC).
Рассмотрим треугольники ABE и ACD:
AD = AE (по условию)
∠A — общий
∠ABE = ∠ACD (по условию)
⇒ ΔABE = ΔACD по стороне и двум прилежащим углам (2-й признак)
Из равенства треугольников следует:
AB = AC
BE = CD
Рассмотрим треугольники OBD и OCE:
BD = AB - AD
CE = AC - AE
Так как AB = AC и AD = AE, то BD = CE
∠OBD = ∠ABE = ∠ACD = ∠OCE
∠ODB = ∠OEC (как равные углы в равных треугольниках ABE и ACD)
⇒ ΔOBD = ΔOCE по стороне и двум прилежащим углам
Из равенства треугольников OBD и OCE следует: OB = OC
Сколько раз можно отнять 6 от 30?
Ответ: Один раз
В магазин привезли ящики с яблоками и грушами — всего 24 ящика. Яблок было в 3 раза больше, чем груш. Через день продали половину ящиков с яблоками и треть ящиков с грушами. Сколько ящиков фруктов осталось?
Пусть груш — x ящиков, тогда яблок — 3x ящиков
x + 3x = 24 ⇒ 4x = 24 ⇒ x = 6 (ящиков груш)
Яблок: 3 × 6 = 18 ящиков
Продали: половина яблок = 18 ÷ 2 = 9 ящиков, треть груш = 6 ÷ 3 = 2 ящика
Осталось: яблок — 18 - 9 = 9 ящиков, груш — 6 - 2 = 4 ящика
Всего осталось: 9 + 4 = 13 ящиков
Ответ: 13 ящиков
Из двух городов, расстояние между которыми 240 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость первого 18 км/ч, второго 22 км/ч. Одновременно с ними из первого города вылетела ласточка и летела между велосипедистами со скоростью 50 км/ч до их встречи. Какое расстояние пролетела ласточка?
Скорость сближения велосипедистов: 18 + 22 = 40 км/ч
Время до встречи: 240 ÷ 40 = 6 часов
Ласточка летала всё это время со скоростью 50 км/ч
Расстояние, которое пролетела ласточка: 50 × 6 = 300 км
Ответ: 300 км
Решите уравнение: 3(x+2) - 2(2x-1) = 4(x-3)
Ответ: x=4
Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная биссектрисе угла A и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что AC=AD
Решение: ∠CAD=∠ACD (накрест лежащие при параллельных), ∠CAD=∠DAC (биссектриса) ⇒ треугольник ACD равнобедренный
Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью отмерить 15 минут?
Запускаем одновременно часы на 7 и 11 минут
Когда закончатся 7-минутные часы (7 минут), переворачиваем их сразу
Когда закончатся 11-минутные часы (11 минут), в 7-минутных часах песка сверху осталось на 4 минуты (11 - 7 = 4)
Переворачиваем 7-минутные часы — теперь там снизу 4 минуты песка
Ждём, пока эти 4 минуты истекут — общее время: 11 + 4 = 15 минут
Ответ: Последовательность действий описана выше.
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 — остаток 2, при делении на 4 — остаток 3, при делении на 5 — остаток 4, при делении на 6 — остаток 5.
Если к искомому числу n прибавить 1, то оно будет делиться на 2, 3, 4, 5, 6
НОК(2, 3, 4, 5, 6) = 60 (разложим: 4=2², 6=2×3, поэтому НОК=2²×3×5=60)
Значит, n+1 = 60 ⇒ n = 59
Цена товара сначала снизилась на 20%, потом повысилась на 25%. Как изменилась цена в итоге?
Решение: Первоначальная цена = 1. После снижения: 0,8. После повышения: 0,8×1,25=1
Ответ: Не изменилась
Найдите все целые решения уравнения: (x-1)(x-2)(x-3) = 0
Не торопись раскрывать скобки! Подумай, когда произведение будет равно 0.
1, 2, 3
В треугольнике ABC: ∠A=60°, ∠B=80°. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Найдите угол AOC
Решение: ∠C=180-60-80=40°. ∠OAC=30°, ∠OCA=20°. ∠AOC=180-30-20=130°
Ответ: 130°
Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?
Решение: 1 курица за 3 дня = 1 яйцо ⇒ за 12 дней = 4 яйца ⇒ 12 куриц = 48 яиц
Ответ: 48 яиц
Разделите 17 на две части так, чтобы произведение этих частей было равно 70
10 и 7
Доказать, что для любого натурального n число n³ - n делится на 6
Решение: n³ - n = n(n-1)(n+1) — произведение трёх последовательных чисел. Среди них есть хотя бы одно чётное и одно кратное 3
Ответ: Делится на 6
Докажите, что выражение (n+1)² - (n-1)² делится на 4 при любом натуральном n.
Раскроем скобки по формуле разности квадратов:
(n+1)² - (n-1)² = [(n+1) - (n-1)] × [(n+1) + (n-1)]
Упростим:
= (n+1 - n + 1) × (n+1 + n - 1)
= (2) × (2n)
= 4n
4n делится на 4 при любом натуральном n
Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На сторонах AB и BC отмечены точки D и E соответственно так, что AD = CE. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O.
а) Докажите, что треугольники ACD и CAE равны.
б) Докажите, что треугольник OAC равнобедренный.
а) 1) В треугольнике ABC: AB = BC (равнобедренный)
2) AD = CE (по условию)
3) AC — общая сторона
4) ∠DAC = ∠ECA (углы при основании равнобедренного треугольника)
5) ⇒ ΔACD = ΔCAE по двум сторонам и углу между ними (1-й признак)
б) 1) Из равенства треугольников ACD и CAE следует: ∠ACD = ∠CAE
2) В треугольнике OAC: ∠OAC = ∠CAE = ∠ACD = ∠OCA
3) Значит, ∠OAC = ∠OCA
4) Следовательно, треугольник OAC равнобедренный с основанием AC (OA = OC)
Четыре друга: Андрей, Борис, Виктор и Григорий — участвовали в соревнованиях по бегу. Известно, что:
Андрей прибежал раньше Бориса
Виктор прибежал позже Григория
Григорий прибежал раньше Андрея
Борис прибежал раньше Виктора
В каком порядке они финишировали?
Ответ: Порядок финиша:
Григорий
Андрей
Борис
Виктор