Zahlbegriff
Zählentwicklung
Zahlenraum
Stellenwertverständnis
Addition/ Subtraktion
Didaktische Prinzipien
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Zahlen unterliegen einer festen und wiederkehrenden Reihenfolge, Position und Ordnung.
Was ist der ordinale Aspekt/ das ordinale Prinzip?
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Entdeckung, dass jedem auszuzählenden Objekt einer Menge genau ein Zahlwort zugeordnet werden muss.
Was ist das Zählprinzip der 1:1 - Zuordnung/ 1:1 Korrespondenz (Eindeutigkeitsprinzip des Zählens) nach Gellmann & Gallistel (1978)?
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Bei dieser Fertigkeit können unstrukturierte Mengen (kleine Anzahlen zwischen ungefähr 3 bis 4 Elementen) direkt auf einen Blick erfasst werden.
Was ist die (unstrukturierte) simultane Mengenerfassung?
100
Für den Aufbau des Stellenwertverständnisses ist die Integration von kognitiven Repräsentationsformen von Zahlen bedeutsam. Drei Zahlkodierungen ("Codes") müssen dabei miteinander verknüpft werden: Zahlwörtern, Zahlenziffern/ Zahlsymbolen und mentale Zahlenbilder/ Darstellungen von Zahlen als Mengenbilder. Dies Codes werden neurowissenschaftlich auch als spezifische neuronale Netzwerke, sogenannte sprachlich-alphabetische, visuell-arabische und semantische Module beschrieben.
Was ist das Triple- Code- Modell nach Dehaene (1993)?
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Bevor Kinder formal innerhalb von Grundoperationen rechnen, sollten sie Grundvorstellungen der jeweiligen konzeptuellen Strukturen der Operationen entdecken und verinnerlichen. Dies kann etwa anhand von Rechengeschichten geübt werden.
Was die Förderung des Operationsverständnisses? Was sind Grundvorstellungen von Rechenoperationen?
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Mathematik ist mehr als Ausrechnen und richtige oder falsche Lösungen. Ein bedeutsamer Wesenskern der Mathematik lässt sich in einer forschenden, problemlösenden und kreativen Grundhaltung beschreiben, z.B. im Entdecken und Beschreiben von Gesetzmässigkeiten und Regeln, im Mathematisieren als Übersetzen von realen Problemen in mathematische Sprache, im Nutzen von mathematischen Konzepten zu Problemlösungen sowie in der Darstellung von mathematischen Lösungsprozessen. Diese erforschende, beschreibende, entdeckende und darstellenden Kompetenzen der Mathematik unterliegen fundamental einem mathematischen Erkenntnisprozess und helfen in der Entwicklung von auf Verständnis gegründetem mathematischen Inhalten.
Was sind prozessbezogene Kompetenzen? Was sind die Handlungsaspekte des Lehrplans 21 im Sinne von Erforschen und Argumentieren sowie Mathematisieren und Darstellen?
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Zahlen repräsentieren eine bestimmte Mächtigkeit/ Grösse. Immer die letztgenannte Zählzahl bestimmt die Mächtigkeit von Mengen.
Was ist der kardinale Aspekt/ das kardinale Prinzip?
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Entdeckung, dass zur Bestimmung der Mächtigkeit einer Menge es keine Rolle spielt in welcher Reihenfolge die Elemente gezählt werden oder wie dies angeordnet sind.
Was ist das Zählprinzip der Irrelevanz der Anordnung nach Gellmann & Gallistel (1978)?
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Bei dieser Fertigkeit können grössere Anzahlen visuell durch das Zerlegen in kleinere Einheiten und aufgrund einer bestimmten Anordnung/ Struktur rasch abgelesen und erkannt werden.
Was ist die (strukturierte) quasi-simultane Mengenerfassung?
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Dazu gehören das Bündeln und Entbündeln sowie verschiedene Aspekte im Verständnis des Stellenwertsystems, wie z.B. Positionen der Stellenwerte, multiplikative und additive Eigenschaft, Basis 10, Zahlverständnis und -produktion.
Was sind die beiden Hauptprinzipien des Stellenwertsystems/ Stellenwertverständnisses, also das Prinzip der fortgesetzten Bündelung (Bündeln/ Entbündeln) sowie das Stellenwertprinzip?
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Ein zu wenig intensiver Aufbau innerer Vorstellungsbilder von kardinalen, strukturierten Zahldarstellungen, kann dazu führen, dass der Zahlenraum vorwiegend ordinal als Zahlenreihe verstanden wird, was zu ungünstiger Lösungsstrategie führt. Sind solche kardinalen Zahlverständnisse/ Mengenrepräsentationen zu wenig verinnerlicht, kann der visuell-räumliche Notizblock des Arbeitsgedächtnis beim Operieren der SuS zu wenig unterstützen und entlasten. Aufgrund der fehlenden visuellen Vorstellungsbilder erkennen diese SuS kaum strukturelle Analogien innerhalb des Zahlenraums und erleben so jede einzelne Rechnung wiederum als Einzelfaktum, die sie stets erneut errechnen müssen.
Was ist das zählende Rechnen bei Kindern?
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Diese Übungsformate sind aus Kritik am traditionellen Übungsverständnis heraus entstanden, welches die reine Mechanisierung und Wiederholung von mathematischen Inhalten innerhalb des Unterrichts stark in den Vordergrund stellte. Es sollen deshalb neben automatisierenden Formen auch Übungsformen eingebaut werden, welche etwa Sinn und Verstehen fördern, mathematische Kerne integral fördern, verschiedene Denk und Lösungswege ermöglichen, verschiedene Schwierigkeitsstufen innerhalb eines Formats ermöglichen und den Austausch und die Interaktion zu Aufgaben anregen.
Was sind produktive Übungsformen?
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Besteht aus 3 Ebenen: Basisfertigkeiten, Anzahlkonzepte (einfaches Zahlverständnis) und Anzahlrelationen/ Mengenbeziehungen.
Was ist das Zahlbegriffsmodell nach Krajweski (ZGB Modell, Zahlen-Grössen-Verknüpfungsmodell)?
300
Dazu gehören 5 Stufen an Kompetenzen: Ganzheitsauffassung, Unflexibilität, teilweise Flexibilität, Flexibilität und vollständige Reversibilität.
Was sind die 5 Stufen des Erwerbs der Zahlwortreihe nach Fuson (1988)?
300
Durch diese Übung können kardinale Mengenbilder als innere Grundvorstellungen/ Vorstellungsbilder verinnerlicht und zum automatisierten Abrufen als Stütze beim Kopfrechnen gefördert werden, indem z.B. strukturierte Anzahlen am Punktefeld unter nur kurzer Präsentation durch die Lehrperson rasch abgelesen werden müssen.
Was ist die Übung Mengen-Blitzen? Was sind Blitz-Licht-Übungen? o.Ä.
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Bei diesem Stellenwertprinzip verstehen die SuS die hinter den Zahlen/ Ziffern liegende Mächtigkeit (z.B. auf der Stellentafel wird die Ziffer 5 bei den Zehnern nicht als 5, sondern 50 verstanden). Die SuS besitzen hier also auch eine innere Repräsentation einer hinter der Ziffer tatsächlich liegenden Grösse (z.B. 50 = 5 Zehnerstangen).
Was ist das Stellenwertprinzip Zahlverständnis?
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Diese Rechenstrategie für den Zehnerübergang stellt insbesondere für Kinder, welche die Zahlzerlegung (Zahlen 1-9) oder das Ergänzen auf 10 wenig automatisiert haben eine hohe Herausforderung dar. Diese Strategie erfordert zudem aufgrund der vielen Teilschritte hohe Anforderung an das Arbeitgedächtnis (Merken von Zwischenschritten/ Zwischenresultaten). Damit die Kinder Einsicht in den Anwendungsgrund dieser Strategie aufbauen können, sollten sie Zehner plus Einer- Rechnungen als einfach und sprachlich herleitend entdeckt haben (z.B. 10 + 3 = 13 "dreiundzehn" "dreizehn").
Was ist das Teilschrittverfahren (10er- Stopp)?
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Mit diesen zwei produktiven Übungsformen können inhaltliche wie auch prozessbezogene Kompetenzen besonders gut geübt werden. Sie ermöglichen inhaltliche Kompetenzen, indem z.B. Strukturen und Gesetzmässigkeiten zwischen Aufgaben und Operationen genutzt werden können. Sie ermöglichen prozessbezogene Kompetenzen, da unterliegende Gesetzmässigkeiten und Strukturen in den Aufgaben zum Beschreiben, Begründen oder Darstellen auffordern. Diese prozessbezogenen Kompetenzen stärken wiederum inhaltliches Verstehen der Mathematik und erleichtern das flexible Rechnen.
Was sind Zahlenmauern? Was sind Entdecker Päckchen/ Schöne Päckchen? (oder andere Formate z.B. Zahlenketten, Magische Quadrate, AnnA Zahlen, Spiegelzahlen etc.)
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Solche Kompetenzen in der Vorschule beeinflussen die mathematische Leistung in späteren Schuljahren: dazu gehören etwa Mengenverständnis (Mengenveränderungen, nicht-numerische Teil-Ganzes-Verständnisse, numerische Teil-Ganzes-Verständnisse (z.B. Zahlzusammensetzungen/ -zerlegungen), Mengenrfassungen (z.B. Subitizing), Zählkompetenzen, das Auszählen und Anzahlbestimmen (z.B. 1:1 Koordination, karidnaler und ordninaler Aspekt), Aufmerksamkeit auf Anzahligkeiten der Umwelt
Was sind mathematische Vorläuferfertigkeiten?
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Kinder dieser Kompetenzstufe des Zählens können die Zahlwortreihe aufsagen, können aber noch nicht von einer beliebigen Zahl aus weiterzählen. Nachbaren können so nur durch das Aufsagen der ganzen Zahlwortreihe gefunden werden.
Was ist die unflexible Zahlwortreihe (unbreakable list level) nach Fuson (1988)?
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Sind Veranschaulichungen des Zahlenraums, welche den ordinalen Zahlenaspekt, z.B. die Reihenfolge, die Positionen oder die Ordnung (z.B. 20er-Zahlen, Zahlen mit gleichen Einern) von Zahlen betonen.
Was ist die Zahlenreihe? Was ist die 20er- oder 100er- Tafel?
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Typische Schwierigkeit der Zahlproduktion beim Lesen und Schreiben von Zahlen sowie dem Legen von Anzahlen mit dem Material, bei der Zehner und Einer von Zahlen verwechselt werden. Zu Beginn der Erarbeitung des Hunderterraums sind gelegentliche Verwechslungen durchaus typisch, bei regelmässigen Verwechslungen können u.a. Unsicherheiten in Link-Rechts-Orientierungen (Raum-Lage-Wahrnehmung) oder zu wenig Einsichten in die Hauptprinzipien des Stellenwertverständnisses Ursache sein.
Was sind Zahlendreher (z.B. von Material zur Zahlsymbolen, von Zahlwörtern zu Darstellungen am Material, von Zahlsymbolen zu Zahlwörtern)? 
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Dies sind drei Rechenstrategien für den Zehnerübergang.
Was ist das Teilschrittverfahren (10er- Stopp), die Strategie Kraft der 5 und Zerlegen in kleine Summanden (z.B. 6 + 8 = (5 + 5) + (1 + 3) = 14), operative Strategien mit Hilfsaufgaben/ Ableitungsaufgaben (z.B. Verdoppeln plus 1/ minus 1 oder Zehnertrick).
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Diese Differenzierungsform ist eine Form der offenen Differenzierung (im Gegensatz zur geschlossenen Differenzierung). Die Kinder sollen innerhalb von gut ausgewählten und reichhaltigen Aufgabenfeldern die Möglichkeit haben verschiedene mathematische Entdeckungen entsprechend ihren Kompetenzen und Vorlieben zu machen. Die Kinder sollen vermehrt ihre eigenen Entscheidungen und Wahlen treffen können, wie und wie tiefgehend eine Aufgabe bearbeitet wird. Die Kinder entscheiden also auch (unter adaptiver Lernbegleitung der Lehrperson) mit, auf welche Art und Weise sie das mathematische Problem lösen, welche Teilprobleme sie beschäftigen bzw. interessieren, welche Materialien sie dabei nutzen, auf welcher Repräsentationsebene (enaktiv, ikonisch, symbolisch) sie arbeiten und wie sie ihre Ergebnisse darstellen und präsentieren möchten etc.
Was ist die natürliche Differenzierung?
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Innerhalb dieser Teilkompetenz/ Fertigkeit des Krajewski-Modells erkennen die SuS Teil-Ganzes-Beziehungen innerhalb von Mengen (z.B. rote und blaue Smarties zusammen ergeben Smarties Gesamtmenge). Sie drücken diese aber noch nicht numerisch aus (nur in kleinen Anzahlen). Auch erkennen Sie, dass sich Mengen durch Hinzufügen und Wegnehmen verschieden verändern lassen.
Was ist sind Mengenrelationen/ Grössenrelationen auf Ebene 2 (einfaches Zahlverständnis/ Anzahlkonzepte)?
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Die Kinder dieser Kompetenzstufe des Zählens können die Zahlwortreihe ab einem beliebigen Punkt aus und auch in beliebigen Schritten aufsagen. Das Rückwärtszählen gelingt sicherer, aber nicht automatsiert. Zählen rückwärts in Schritten bleibt noch schwierig.
Was ist die Stufe der flexiblen Zahlwortreihe (numberable chain level) im Erwerb der Zahlwortreihe nach Fuson (1988)?
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Sind zwei Veranschaulichungen des Zahlenraums, welche den kardinalen Zahlaspekt, also die Mächtigkeit und Grösse von Zahlen visuell betonen und verdeutlichen.
Was ist das 20er- oder 100er- Punktfeld? Was sind Punktestreifen? Was sind Mehrsystemblöcke (DIENES- Material)?
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Damit ist beispielsweise gemeint, dass ab 13 spricht man in der deutschen Sprache beim Zahlenlesen zuerst die Einer aus, schreibt in Schreibrichtung aber üblicherweise zunächst die Zehner. Ab 100 gibt es erneut einen Richtungswechsel, so dass zuerst die 100 vor den Einern genannt werden (z.B. Hundertund eins statt einshundert).
Was ist das Inversionsproblem der Zahlwörter in der deutschen Sprache? Was die inverse Sprechweise von Zahlwörtern?
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Bei dieser Zählstrategie haben die Kinder implizit das Tauschgesetz der Addition verstanden bzw. wenden dieses beim Lösen von Additionen an. Sie vereinfachen den zählenden Zugang mit Hilfe des Tauschgesetzes (z.B. bei der Rechnung 2 + 3 wird nur noch 4, 5 aufgezählt).
Was ist das Weiterzählen vom grösseren Summanden?
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Aktiv-entdeckender Unterrichtsphasen beinhalten in der Praxis die Schwierigkeit verschiedene Kompetenzen und Lernstände wieder zusammenzuführen. Ausserdem benötigen offene Unterrichtsphasen dennoch Leitplanken und Strukturen, damit sie für die SuS gewinnbringend sein können. Dieses Unterrichtsgefäss ist eine didaktische Hintergrundstruktur, welche sich am sozialen Lernen (Wittmann, 1992) oder dialogischen Lernen (Gallin & Ruf, 2005) orientiert. Bedeutsam sind dabei die Lernphasen, die vom Ich über das Du zum Wir führen. Ich bedeutet dabei, die Phase einer eigenständigen Produktion (das Ich kann auch bereits ein Lerntandem sein). Anhand von Aufträgen, welche Kinder gemäss ihren Kompetenzen verschieden angehen können sind die SuS eigenaktiv, was insbesondere auch durch die Präsentation von Problemen Ausgangslage für Neugierde und Motivation zum Verstehen fördert. Dies regt intrinsische Zugänge und Sinnstiftung mehr an, als wenn die Lehrperson ein Vorgehen präsentiert, welches im Weiteren dann nur in Aufgaben reproduziert werden muss. Das Du bedeutet dann die Phase der Rezeption, in welcher die SuS durch Austausch in Kleingruppen verschiedene Ansichten und Lerninhalten voneinander erfahren sollen. Es besteht nun das Interesse in Erfahrung zu bringen, auf welche Weise andere die Aufgabe angegangen sind. Dies bringt zudem ein Vorteil darin, als dass nicht nur die Lehrperson erklärt und die Kinder können ihr soziales Bedürfnis inhaltlich über den Lernstoff befriedigen. Schwächeren SuS erleichtert dieser Austausch durch die Gruppe fehlende Zugänge zu erfahren, die sie dann später auch im Plenum in der Klasse einbringen können. Die Phase des Wir richtet sich an einen gemeinsamen Austausch in der Gesamt- oder Halbklasse. Es ist auch die Phase, in welcher aus verschiedenen Lösungswegen und Denkansätzen Vorteile und Nachteile besprochen werden können. Die Lehrperson kann hier typische Konventionen und Vorgehen mit der Klasse besprechen und schliesslich mit den SuS festlegen. Hier kann die Lehrperson auch geeignet Erklärungen, Wissen und Hilfestellungen anbieten, welche allein durch die Kinder in der eigenständigen Auseinandersetzung wenig selbstentdeckt werden können. Das Wir kann auch innerhalb des Paradigmas von "Lernen sichtbar machen" verstanden werden, indem etwa über Präsentationen, Ausstellungen oder Lernplakate etc. verschiedene Lernwege, Lernstände oder Wissenstände einander aufgezeigt werden.
Was sind Mathekonferenzen im Sinne des dialogischen/ sozialen Lernens?
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Diese Teilkompetenzen/ Fertigkeiten im Krajewski-Modell ermöglichen es, dass Beziehungen zwischen Mengen auch rein numerisch geäussert und hergeleitet werden können. So können Mengen/ Zahlen in zwei weitere Mengen unterteilt werden (z.B. 5 besteht aus 3 und 2) oder es kann numerisch ausgedrückt werden, was der Unterschied zwischen zwei Mengen ist (z.B. 3 und 5 unterscheiden sich um 2).
Was sind Zahlzerlegungen/ Zahlzusammensetzungen und Zahldifferenzen auf Ebene 3 (tiefes Zahlenverständnis, Anzahlrelationen)?
600
Ein wichtiges Kernelement in der Förderung der Zählentwicklung ist, neben dem Lernen des verbalen Zählens (Korrektes Aufsagen der Zahlwortreihe) und des Auszählens von Objekten (von strukturierten zu unstrukturierten Mengen), zuerst das Entdecken der Zahlen und Zahlwörter als immer wiederkehrende Muster im Alltag. In dieser Phase konnte gezeigt werden, dass Kinder, welche von sich aus früh ihre Aufmerksamkeit in ihrem spielerischen und gestalterischem Tun auch auf Anzahlen richten und über diese sprechen, später weniger Rechenschwierigkeiten zeigen.
Was ist spontane Aufmerksamkeit auf Anzahligkeiten (SFON "Spontaneous Focussing On Numerosity") (z.B. Kucian et al., 2012)?
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Stellt einen Veranschaulichung des Zahlenraums dar, die sowohl den ordinalen, wie auch den kardinalen Zahlaspekt betont. Diese Veranschaulichung ist für SuS mit besonderen Lernbedürfnissen oftmals anspruchsvoller.
Was ist der Zahlenstrahl?
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Im Stellenwertsystemen verweisen die Stellenwerte darauf, dass die Ziffern, erstens, die Anzahl der Bündel angeben (Wie viele Bündel?) und, zweites, aufgrund ihrer Position innerhalb der Stellenwerte mit jeweiligen Mächtigkeiten der Bündel verknüpft sind (Welche Bündelungseinheit?) (z.B. 125 = 1 * 100, 2 * 10 und 5* 1) . Dadurch erhalten die reinen Ziffern jeweilige Zahlwerte, welche zusammengerechnet werden können und so den Gesamtwert der Zahl bestimmen (z.B. (125 = 100 + 20 + 5 ).
Was ist das Stellenwertprinzip im Sinne der multiplikativen und additiven Eigenschaft?
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Dies sind zentrale Förderbereiche, die bei SuS, welche zählend rechnen besonders im Fokus stehen sollten.
Was ist die Förderung der Zählkompetenz, was ist strukturierte quasi-simultane Mengenerfassung, was ist das strukturfokussierte Üben z.B. anhand von Punktrestreifen, Punktefelder, Abaco etc., was ist der Aufbau von inneren Vorstellungsbildern von Anzahlen und Operationen (z.B. 4-Phasenmodell Additionen anhand von Punktestreifen verinnerlichen), was ist die Automatisierung von Zahlzerlegungen (gute Teil-Ganzes-Verständnisse), was sind operative Rechenstrategien (z.B. Hilfsaufgaben, Rechenstrategien)?
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Dies sind bedeutsame Elemente davon, z.B: Klassenraum und räumliche Grundstruktur verändern, reichhaltige Lernaufgaben, die Eingangsmöglichkeiten für alle Kompetenzstufen ermöglichen, kurze Inputphase, Lernangebote als Lernumgebungen, häufige begleitende Lerngespräche, soziales Lernen anhand gemeinsamer Lerngespräche, Eigenproduktionen und Didaktik des weissen Blattes.
Was ist das Churer Modell?