Historia
Deficiones
Demostración
Conceptos
Uso
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¿Quién es Joseph Luis Lagrange?
Fue un físico, matemático y astrónomo italiano
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¿Qué es la Interpolación Polinómica de Lagrange?
Es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado
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¿Qué función polinómica se busca?
La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k
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¿De que trata el polinomio de Lagrange?
Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que
Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1
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De un ejemplo en matlab
function fi = Lagran_(x, f, xi)
fi=zeros(size(xi));
np1=length(f);
for i=1:np1
z=ones(size(xi));
for j=1:np1
if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end
end
fi=fi+z*f(i);
end return;
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¿Por qué se llama Interpolación Polinómica de Lagrange?
Llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange
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¿Qué lleva la resolución de un problema de interpolación?
Lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones.
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¿Cuántas soluciones puede tener el problema de interpolación?
Puede tener tan solo una solución
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¿Qué se requiere que el numerador contenga?
Se requiere entonces que el numerador contenga
(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn)
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Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange
Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25.
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¿En que año público el resultado de su investigación?
Lagrange publicó este resultado en 1795
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¿Qué base usa el polinomio interpolador?
Utiliza una base monómica estándar
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¿Cuál seria la diferencia entre 2 soluciones?
Sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros
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¿Con que debe coincidir el denominador?
El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.
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Los polinomios de Lagrange
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¿Quiénes fueron los descubridores de este polinomio de interpolación?
Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783
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¿A que matriz se llega con el polinomio interpolador?
Se llega a la matriz de Vandermonde
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¿Qué se de deduce que es L(x) ?
L(x) es el único polinomio interpolador
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¿Por qué reglas esta dado el polinomio?
Este polinomio está dado por:
Donde
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Ejemplo
P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3
P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15
f(3) = P(3) = 0.325
P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15
f(3) = P(3) = 0.325
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¿Por qué resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange ?
Resulta engañoso dado que no existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange
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¿Utilizando la base de Lagrange a que forma llegamos?
Llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.
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¿Cuál es el teorema de N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange?
Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que
f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n
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¿De que trata el error en la interpolación de Lagrange?
El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con :
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Grafico
