Límites I
¿Qué es el límite de una función?
El valor al que tiende f(x) cuando x se aproxima a un punto.
¿Qué diferencia hay entre discontinuidad de salto y esencial?
En la de salto los límites laterales existen pero son distintos; en la esencial al menos uno tiende a ±∞ o no existe.
¿Qué significa x tiende a ”a”?
Que x toma valores cada vez más cercanos a ”a”, sin necesariamente ser igual a ”a”.
¿Cuál es el dominio de continuidad de una función polinómica?
Todo el conjunto de los números reales ℝ.
¿Qué es una función?
Una relación que asigna a cada valor x del dominio un único valor f(x).
¿Qué es un límite lateral?
Es el valor al que se acerca la función por un solo lado del punto: por la izquierda o por la derecha.
¿Cuando una discontinuidad es inevitable?
Una discontinuidad es inevitable si los límites laterales en x=a son distintos.
¿Qué es una indeterminación?
Es una forma matemática (como 0/0 o ∞/∞) que impide calcular directamente un límite.
¿Qué tipo de discontinuidad tiene f(x)=1/x en x=0?
Discontinuidad infinita (o esencial).
¿Qué significa “dominio” de una función?
Es el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida.
limₓ→2 (7x²+x )=
limₓ→2 (7x²+x )= 30
Si una función tiene límite finito en un punto, pero f(x) no está definida allí, ¿cómo se llama esa discontinuidad?
Discontinuidad evitable.
limₓ→4 2x2+5x−1 / 3x−2=
limₓ→4 2x2+5x−1 / 3x−2= 5,1
¿Qué significa “intervalo de continuidad”?
Es el conjunto de valores de x donde la función no tiene interrupciones ni saltos.
¿Qué tipo de funciones son siempre continuas en todo ℝ?
Las polinómicas, las exponenciales y las trigonométricas (salvo donde no estén definidas).
limₓ→0 4sen(x)=
limₓ→0 4sen(x)= 0
¿Qué 2 tipos de discontinuadas inevitables hay? Explica una de ellas.
Discontinuadas inevitables de salto infinito y de salto finito.
limₓ→1 (√ x+5 / x+1)=
limₓ→1 (√ x+5 / x+1)= 1,22
¿Cómo se puede demostrar que una función racional es continua en su dominio?
Porque el cociente de dos polinomios es continuo donde el denominador no se anula.
¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada?
Pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
limₓ→0 (x+3):cosx=
limₓ→0 (x+3):cosx= 3
¿Qué 3 condiciones se tienen que dar para que una función sea continua en un punto?
Que exista f(a), exista limₓ→a f(x) y que limₓ→a f(x) = f(a).
limₓ→5 (x−5) (x+3) / 2x−10=
limₓ→5 (x−5) (x+3) / 2x−10= 4
(indeterminación 0/0 y se factoriza)
Sea f(x) = (x² − 4) / (x − 2), con x ≠ 2.
¿Cómo debe definirse f en x = 2 para que sea continua allí?
lim (x → 2) (x² − 4) / (x − 2) = lim (x → 2) (x + 2) = 4.
¿Cuál es el método más usado para comprobar continuidad en funciones por tramos?
Igualar los límites laterales en los puntos de unión.