Linjär Algebra

Determinanter

100

Beräkna determinanten,

(2 -4 2; -4 0 -2; 1 -1 1)

-4

200

Avgör för vilka värden på talet a som vektorerna

(a,1,1,1)
(1,a,1,1)
(1,1,a,1)
(1,1,1,a)

utgör en bas för R⁴

De utgör en bas för alla värden på a utom a=1 och a=-3

300

Följande matris determinant,

| 1  3 -1  2 |
| 2  4  0  3 |
| 1  2  1  2 |
|-1  1 -2 -1|

3

400

En tetraeder har hörn i punkterna P:(1,2,1), Q:(0,2,5), R:(-1,-1,0) samt origo. Beräkna, med hjälp av determinant, volymen av tetraedern.

Volymen blir 1/2 a.e. 

500

Lös ekvationssystemet med hjälp av Cramers regel,

2x₁-x₂+x₃=0

4x₁+x₂-x₃=2

-x₁+2x₃=-1

1/3(1,1,-1)

Blandat

100

För punkten P:(1,2,2) bestäm den ortogonala projektionen Q på planet π: x+y-z=0

Q=1/3(2,5,7)

200

Linjäranpassa följande mätdata (i (x,y)),

(1;0,2)

(2;0,7)

(3,1)

(4;1,5)

y=0,42x-0,2

300

Lös matrisekvationen 2I+XA=B där,

A = (1 -2 -1;-2 3 0;3 -5 1)

B = (2 -1 0; 1 3 1; -2 0 -4)

X=(1 2 1; -3 -5 -2; 6 4 0)

400

Låt A=(1 2 1; 2 4 a; 1 2a 3)

a) Bestäm för vilka värden på a som det(A)=0 

b) Bestäm nolldimensionen samt en bas för nollrummet till matrisen A för de värden på a där det(A)=0

a)a=1 och a=2

b)för a=2 är nollrummet t(1,-1,1) och en bas är tex (1,-1,1)

för a=1 är nollrummet t(-2,1,0) och en bas är tex (-2,1,0)

GaussGaussGauss...

100

Lös ekvationssystemet,

x-y+2z-3w=4

-2x+2y+z-4w=-3

(x,y,z,w)=(2+s-t,s,1+2t,t)

200

Lös ekvationssystemet,

2x-y+z=0

4x+y-z=2

-x+2z=-1

(x,y,z)=1/3(1,1,-1)

300

Lös ekvationssystemet,

x-2y+3z-w=2
2x-3y+2z-4w=1
-x+3y-z-w=1
3x-4y+3z-w=-4

(x,y,z,w)=(-4,-1,1,-1)

400

Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till följande ekvationssystem,

2x+y+az=0
2x+3y+az=4
ax+y+2z=-2a

Då a är skilt från +/- 2 har systemet en lösning, då a=2 ingen lösning och då a=-2 oändligt många lösningar

Definitioner

100

Vad är en symmetrisk matris?

A^T=A

200

Vad är triangelolikheten?

(Uttryck + geometrisk förklaring)

||u+v|| <= ||u|| + ||v||

300

Vad är definitionen för att vektorer är linjärt beroende?

Vektorerna u₁, u₂,..., u_n sägs vara linjärt beroende om någon av dem är en linjärkombination av de övriga. Annars, dvs om det inte finns någon sådan linjärkombination, kallas de istället linjärt oberoende.

400

Vad är definitionen av en bas?

Vektorerna u₁, u₂,..., u_n i Rⁿ sägs utgöra en bas för Rⁿ om varje v som tillhör Rⁿ kan skrivas,

v=x₁u₁+x₂u₂+...+x_nu_n

med entydigt bestämda tal x₁, x₂,..., x_n