cirkel
diameter * 3,1415926535897932384626433832
hvordan regner man omkredsen af en cirkel
5 cifre af pi
hvad er 3,14159
m^2
hvad er kvadratmeter
r^2 * 3,1415926535897932384626433832
10 cifre af pi
hvad er 3,1415926535
m^3
hvad er cubikmeter
et linje der ligger inde i en cirkel og rammer cirkelbuen 2 steder
hvad er en korde
15 cifre af pi
hvad er 3,141592653589793
mm^3
hvad er kubikmillimeter
en linje der skærer korden i midten
hvad er en midt normal
20 cifre af pi
hvad er 3,14159265358979323846
nm^2
kvadratnanometer
Vælg tre punkter A, B, C, og overvej den sfæriske trekant T defineret af disse punkter. Kuglens centrum ligger i det konvekse skrog af A, B, C og et andet punkt P, hvis og kun hvis det ligger i det konvekse skrog af T og P. Dette sker, hvis og kun hvis P er antipodal til T. Så den ønsket sandsynlighed er den forventede brøkdel af kuglens overfladeareal som er omfattet af T. Betegn antipoden til et punkt P ved P'. Vi betragter de otte sfæriske trekanter ABC, A'BC, AB'C, A'B'C, ABC', A'BC', AB'C', A'B'C'. Betegn disse ved T_0, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5, T_6, T_7; vi betragter hver T_i som funktion af de stokastiske variable A, B, C. Der er en automorfi af vores sandsynlighedsrum defineret af (A,B,C) -> (A,B,C'). Derfor T_0 og T_4 har samme fordeling, og på samme måde T_1 og T_5, T_2 og T_6, og T_3 og T_7. Det samme gælder naturligvis for B, således at T_0 og T_2, T_1 og T_3, T_4 og T_6, og T_5 og T_7 har alle den samme fordeling. Endelig har T_0 og T_1, T_2 og T_3, T_4 og T_5, og T_6 og T_7 alle samme fordeling. Vi konkluderer, at alle T_i har præcis samme fordeling. Især har brøkarealet A_i af T_i samme fordeling for alle i. På den anden side er det samlede brøkareal af alle T_i nøjagtigt 1: de otte trekanter dækker kuglen præcis én gang. Derfor hver T_i har forventet brøkareal 1/8. Især T_0, sandsynligheden for vi ønskes, har forventet værdi 1/8. Bemærk, at dette bevis ikke kræver den fulde styrke af uniform fordeling i sædvanlig foranstaltning; det kræver heller ikke uafhængighed mellem alle variablerne. Det kræver kun visse automorfier af sandsynlighedsrummet.
Fire punkter er valgt tilfældigt på overfladen af en kugle. Hvad er sandsynligheden for, at midten af kugle ligger inde i tetraederet, hvis toppunkter er ved de fire punkter? (Det er underforstået, at hvert punkt er uafhængigt valgt i forhold til en ensartet fordeling på kuglen).
28 cifre af pi
hvad er 3,1415926535897932384626433832
µm^3