Derivación implícita y logarítmica
La técnica utilizada para derivar una ecuación donde "y" no está despejada explícitamente.
Derivación implícita.
Método que usa la recta tangente para aproximar valores cercanos.
Aproximación lineal.
Teorema que garantiza que una función continua en [a, b] alcanza máximo y mínimo global.
Teorema del valor extremo.
Teorema que dice que existe un punto donde f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Teorema del valor medio.
Nombre del tipo de problema donde se busca máximo o mínimo con condiciones.
Problema de optimización.
Deriva implícitamente: x^2 + y^2 = 25.
y' = -x / y
Diferencial de y = sqrt(x).
dy = (1 / (2*sqrt(x))) * dx
Nombre que reciben los puntos donde f'(x) = 0 o no existe.
Valores críticos.
Condiciones para aplicar L'Hopital.
Tener una forma 0/0 o ∞/∞ y funciones derivables.
Primer paso clave en un problema de optimización.
Escribir todo en una sola variable.
Método que consiste en aplicar ln a ambos lados antes de derivar.
Derivación logarítmica.
Tipo de problema donde dos variables dependen del tiempo y están relacionadas.
Razones de cambio relacionadas.
Teorema que dice que si hay un extremo relativo y la derivada existe, f'(c) = 0.
Teorema de Fermat.
Calcula: límite de sin(x)/x cuando x → 0 usando L'Hopital.
Límite = 1
Una valla recta divide un terreno y se quiere un rectángulo apoyado en la valla. ¿Qué variable se optimiza?
Se optimiza el ancho del rectángulo.
Deriva: ln(x^2 + 3x).
(2x + 3) / (x^2 + 3x)
Usa aproximación lineal para estimar sqrt(4.1).
Aproximación: 2.025
Encuentra los valores críticos de f(x) = x^3 - 3x.
x = 1 y x = -1
Aplica el teorema del valor medio a f(x) = x^2 en [1, 4].
El punto c es 2.5
Punto de la curva y = x^2 más cercano al punto (0, 4).
Aproximadamente x = 1
Deriva implícitamente: x^3*y + y^3 = 10.
y' = -(3x^2y) / (x^3 + 3*y^2)
En x^2 * y = 12, si dx/dt = 2 y en ese instante x = 2 y y = 3, encuentra dy/dt.
dy/dt = -4
Determina dónde f(x) = x^4 - 2x^2 tiene máximos o mínimos relativos.
Máximo en x = 0, mínimos en x = 1 y x = -1
Calcula el límite de ln(x)/x cuando x → infinito.
Límite = 0
Una lata cilíndrica tiene volumen 500 cm^3. Relación entre h y r para minimizar el área.
h = 2*r