Show:
Linjer i rummet
Vektorer i rummet
Kugler i rummet
Planer i rummet
CHANCEN
100
Hvilke to ting kan man aflæse af en linjes parameterfremstilling?
En retningsvektor og et punkt, som linjen går igennem.
100
Hvad kaldes de tre akser i rummet?
x, y og z
100
Hvad er centrum og radius for følgende kugle: (x-1)^2+(y+3)^2+(z-7)^2=4
Centrum (1,-3,7) og radius er 2
100
Hvad er planens ligning?
a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) =0 Hvor (x_0,y_0,z_0) er et punkt i planen og (a,b,c) er en normalvektor til planen.
100
Hvad er formlen for diskriminanten?
d = b^2 - 4ac
200
Hvilke 4 muligheder er der for linjer i rummets skæring?
1. parallelle og sammenfaldende (uendeligt mange skæringspunkter) 2. parallelle og ingen skæringspunkter 3.ikke-parallelle med ét skæringspunkt 4. ikke-parallelle og vindskæve (ingen skæringspunkter)
200
Givet punkterne A(2,-3,4) og B(5,-6,-7), hvad er da koordinaterne til vektoren AB?
(3,-3,-11)
200
Hvad er kuglens ligning?
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 Hvor kuglens centrum har koordinaterne (a,b,c) og r er kuglens radius.
200
Hvilken information kan vi aflæse af følgende plans ligning: 2x-y+3z-15=0 ?
At den har en normalvektor med koordinaterne (2,-1,3)
200
Hvad kan følgende reduceres til: (a+b)(a-b) ?
a^2-b^2
300
Det er givet, at to linjer skærer hinanden i ét punkt. Hvordan bestemmes dette skæringspunkt?
Man sætter koordinatligningerne fra de to parameterfremstillinger lig hinanden og løser for s og t. Derefter indsættes én af de fundne skalarer i den tilhørende parameterfremstilling, og punktets koordinater udregnes.
300
Hvad er længden af vektoren a=(2,1,-3)
sqrt(14)
300
Ligger punktet (4,-6,1) på kuglen (x-2)^2+(y+4)^2+(z-1)^2=9
Nej!
300
Hvordan kan man fastlægge en plan givet tre punkter, der ligger i den?
Man bestemmer to retningsvektorer til planen ud fra de tre punkter og bestemmer deres krydsprodukt. Dermed er en normalvektor til planens ligning fundet, og denne kan indsættes sammen med ét af de tre givne punkter i planens ligning.
300
Hvordan differentieres et produkt: h(x)=f(x)*g(x)
h'(x)=f '(x)*g(x) + f(x)*g '(x)
400
Hvordan bestemmes vinklen mellem to linjer i rummet?
Man bestemmer vinklen mellem de to retningsvektorer (fremgår af parameterfremstillingerne) og beregner derefter vinklen mellem disse vha. formlen: cos(v)= (r_1 prik r_2)/(længden af r_1 * længden af r_2)
400
Hvad er formlen for skalarproduktet af to vektorer a(a_1,a_2,a_3) og b(b_1,b_2,b_3)?
a prik b = a_1*b_1 + a_2*b_2 + a_3*b_3
400
Hvilke tre muligheder er der for skæring mellem en plan Alpha og en kugle i rummet?
1. Hvis dist(C, Alpha) < r, skærer planen kuglen i en cirkel 2. Hvis dist(C, Alpha) > r, skærer plan og kugle ikke hinanden 3. Hvis dist(C, Alpha) = r, tangerer planen kuglen.
400
Hvordan bestemmes vinklen mellem to planer?
Man bestemmer vinklen mellem de to planers normalvektorer, da denne svarer til vinklen mellem de to planer. Man bruger formlen: cos (v)= (n_1 prik n_2)/(længden af n_1 * længden af n_2)
400
Hvad er formlen for cosinusrelationerne?
a^2 = b^2+c^2 - 2*b*c*cos(A)
500
Hvordan bestemmer man vinklen w mellem en linje og en plan i rummet?
Man aflæser linjens retningsvektor og planens normalvektor og bestemmer så vinklen mellem disse vha. formlen: cos(v)=(r prik n)/(længden af r * længden af n) Er vinkel v spids gælder der at: w=90-v Er vinkel v stump gælder der at: w= v-90
500
Nævn mindst tre egenskaber ved to vektorers krydsprodukt.
1. a x b er vinkelret på både a og b 2. længden af a x b er arealet af det parallelogram, a og b udspænder 3. a er parallel med b hvis og kun hvis a x b = nulvektoren 4. længden af a x b = længden af a * længden af b * sin(v), hvor v er vinklen mellem a og b
500
Hvordan bestemmes evt. skæringspunkter mellem en linje i rummet og en kugle?
Man trækker de tre koordinatligninger ud af linjens parameterfremstilling og indsætter dem på x, y og z's plads i kuglens ligning. Så løser man for t. Der vil enten være 0, 1 eller 2 løsninger, svarende til antallet af skæringspunkter. Evt. løsninger for t indsættes i linjens parameterfremstilling til beregning af skæringspunkterne.
500
Hvordan bestemmes tangentplanen til en kugle i et punkt P?
Man bestemmer vektoren fra kuglens centrum til punktet P, da denne vil være en normalvektor til planen. Så kan denne indsættes i planens ligning sammen med P's koordinater.
500
Hvordan siger man følgende på fransk: Jeg sover med min matematikbog i armene hver nat.
Je dors avec mon livre de maths dans les bras chaque nuit.