Definiciones de Cónicas
¿Cuál es la definición de una elipse en términos geométricos?
La definición de una elipse en términos geométricos es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
¿Cuál es la ecuación general de una circunferencia con centro en (2, -3) y radio 5?
La ecuación general de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es (x - h)² + (y - k)² = r². En este caso, sería (x - 2)² + (y + 3)² = 25.
¿Cuál es la definición geométrica de una elipse y cómo se relaciona con sus focos?
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. La excentricidad es la relación entre la distancia entre los focos y la longitud del eje mayor
Define una hipérbola en términos de sus focos y asíntotas.
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Las asíntotas son las rectas que pasan por los vértices y se acercan a la hipérbola pero nunca la cruzan.
¿Cuál es la definición de una parábola en función de su directriz y foco?
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto llamado foco y una recta llamada directriz
¿Cómo se define una hipérbola en relación con sus focos?
Una hipérbola se define en relación con sus focos como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
Demuestra que la ecuación x² + y² - 6x + 4y = 12 representa una circunferencia, identificando su centro y radio.
El centro de la circunferencia es (3, -2) y su radio es √13
Encuentra la excentricidad de una elipse con semiejes de longitud 5 y 3.
La excentricidad de la elipse es e = √(1 - (b²/a²)) = √(1 - 9/25) = 4/5
Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en (2,-1), vértices en (2,1) y (-4,-1).
La ecuación de la hipérbola es (x-2)²/36 - (y+1)²/8 = 1
Encuentra la ecuación de la parábola con foco en (0,3) y directriz y = -3
La ecuación de la parábola es y = (1/12)x² + 3
¿Qué representa el parámetro excentricidad en una cónica?
El parámetro excentricidad en una cónica representa la relación entre la distancia entre los focos y la longitud del eje mayor.
¿Cuál es la relación entre una circunferencia y una elipse en términos de su excentricidad?
La excentricidad de una circunferencia es siempre 0, ya que es una figura geométrica con excentricidad nula
Demuestra que la ecuación x²/16 + y²/9 = 1 representa una elipse, identificando sus vértices, focos y excentricidad
Los vértices son (4,0) y (-4,0), los focos son (5,0) y (-5,0), y la excentricidad es e = √(1 - b²/a²) = √(1 - 9/16) = √7/4
¿Cuál es la relación entre la excentricidad y la distancia focal de una hipérbola?
La excentricidad e está dada por e = c/a, donde c es la distancia del centro a un foco y a es la distancia del centro a un vértice
Resuelve la ecuación de una parábola con vértice en (1,-2) y foco en (1,0).
La ecuación de la parábola es y² = 4(x-1)
Describe la definición de una parábola en función de su directriz y foco.
Una parábola se define como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto llamado foco y una recta llamada directriz.
Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,3) y (-2,-4).
La ecuación de la circunferencia es (x - 1)² + (y - 3)² = 10
Resuelve la ecuación de una elipse con centro en (0,0), a=4 y b=3.
La ecuación de la elipse es x²/16 + y²/9 = 1
Resuelve la ecuación de una hipérbola con centro en (0,0), eje focal horizontal de longitud 10 y vértices en (5,0) y (-5,0).
La ecuación de la hipérbola es x²/25 - y²/9 = 1
¿Cuál es la relación entre la distancia entre el vértice y el foco en una parábola?
En una parábola, la distancia entre el vértice y el foco es igual a la distancia entre el vértice y la recta directriz
¿Cuál es la definición de una circunferencia en términos de una distancia constante?
La definición de una circunferencia en términos de una distancia constante es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Calcula la longitud de un arco de circunferencia con radio 8 y ángulo central π/3.
La longitud de un arco de circunferencia se calcula como S = rθ, donde r es el radio y θ es el ángulo en radianes. En este caso, sería S = 8(π/3) = 8π/3 unidades
¿Cuál es la relación entre el eje mayor y el eje menor de una elipse?
El eje mayor es el doble de largo que el eje menor en una elipse
Describe la forma general de la ecuación de una hipérbola en relación con sus términos.
La forma general de la ecuación de una hipérbola es (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 para la hipérbola con eje focal horizontal, y (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 para la hipérbola con eje focal vertical.
Demuestra cómo la ecuación y = x² representa una parábola y describe sus características
La parábola y = x² tiene su vértice en el origen, se abre hacia arriba, su foco es (0,1/4) y su directriz es y = -1/4