T.ª CATETO y ALTURA
01.- Los lados de un triángulo miden, lado a = 60 cm y lado b = 80 cm. La altura sobre el lado “c” mide 48 cm. Demuestra que es un triángulo rectángulo.
_SOL: m = 36 cm _ n = 64 cm
T.ª Altura ⇒ 482 = 36 · 64
06.- Desde la ventana de Juan, a 15 metros del suelo, este ve la ventana de Luis, a 23 metros del suelo, bajo un ángulo de 20º. ¿Qué distancia separa la ventana de Juan de la de Luis?
_SOL: x = 23,39 m
11.- Sabiendo que sen 2 â = 9/25.
Calcular 5 · tg2 â - 3 · cos2 â.
_SOL: 357/400
16.- Un triángulo tiene las siguientes medidas: a = 7 cm, b = 8 cm y c = 16 cm. Demuestra usando el teorema del coseno que esto es imposible.
_SOL: cos  = 1,058> 1 ⇒ IMPOSIBLE
21.- Una torre que mide 15 m de altura da una sombra de 8 m. En ese momento una señal da una sombra de 2 m. ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la vertical de la señal? Dibujo.
_SOL: â = 28º 4´20,95"
02.- En un triángulo rectángulo la proyección de un cateto sobre la hipotenusa vale 25,6 cm y la altura sobre la hipotenusa vale 19,2 cm. Calcula el área de otro triángulo cuyas medidas son la octava parte de las de este.
_SOL: A2 = 6 cm2
07.- La tangente de un ángulo agudo α de un triángulo rectángulo vale 4. ¿Cuánto vale la tangente del otro ángulo agudo β? ¿Qué puedes decir de sus catetos? Dibujo
_SOL: tg α = 4
Un cateto es cuatro veces el otro: x = 4y
12.- Demostar: tg2 â - tg2 â · sen2 â - sen2 â = 0
_SOL: MIRAR A LA PIZARRA
17.- ¿Qué ángulo se debe abrir un compás con brazos de 8 cm para trazar un círculo de 804 cm2 de superficie? Dibujo.
_SOL: â = 177º 59´19,6 ”
22.- Una maqueta a escala tiene una torre de 35 mm que en la realidad mide 105 metros. Calcular:
a) El área real, expresada en m2, de una piscina que en la maqueta ocupa una superficie de 136 mm2.
b) El volumen de la piscina en la maqueta, en litros, si en la realidad tiene 3 metros de profundidad.
_Sol: a) 1.224 m2 _ b) 0,000136 l
03.- Dado el triángulo de lados a = 9 cm, b = 12 cm yc = 15 cm. Calcula los tres ángulos. Calcula la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre ella.
_SOL: h = 7,2 cm _ m = 9,6 cm _ n = 5,4 cm
α = 36º52´11,63 ”_ β = 53º07´48,37” _ γ = 90º
08.- Calcula un ángulo agudo no nulo cuyo seno sea el doble que su coseno.
_ SOL: Â = 63º 26´5,82"
13.- Comprueba si existe un ángulo â que cumpla:
sen â = 1/4 y cos â = 3/4.
18.- Calcula la diagonal menor y el área de un romboide de lados 10 cm y 18 cm, sabiendo que uno de sus ángulos mide 53º 7´48,37 ”.
_SOL: d = 14,42 cm y A = 144 cm2
23.- Un triángulo dibujado a escala 1: 100 tiene de perímetro 40 cm y de área 28 cm2. Calcula el perímetro y el área del triángulo original.
_SOL: P = 40 m _ A = 28 cm2
04.- En un triángulo rectángulo la proyección de un cateto en la hipotenusa mide el doble que la proyección en la hipotenusa del otro cateto. Calcula el valor de sus ángulos. Dibujo
_SOL:
α = 35º15´51,8 ”_ β = 54º44´08,2” _ γ = 90º
09.- Una escalera de 8 metros se apoya en la base de una ventana formando un ángulo de 35º 10´23” con el suelo. Si apoyamos la escalera en la parte superior de la ventana, el ángulo ahora es de 50º. ¿Cuánto mide la ventana? Dibujo.
_SOL: x = 1,519 m
14.- Conociendo que cos â = -24/25 y que 180º < â < 270º, calcular sin usar la calculadora el valor de la expresión: 50 sen â - 25 sec â + tg â. Con la calculadora, encuentra el valor de â en grados y radianes.
_SOL: 37/3
â = 196º 15´36,7"
19.- Calcula el ángulo menor en el triángulo de datos: a = 40 cm, b = 20 cm, c = 30 y  = 105º.
_SOL: Aplicando T.ª Seno
B = 28º 52´44,74 "_ C = 46º 25´21"
Pero esto es IMPOSIBLE.
24.- Dado un triángulo isósceles de lados 130 cm, 130 cm y 100 cm, traza una recta paralela al lado desigual que hace de base, un cuatro quintos de su altura por encima de la base. Calcule la relación entre las áreas del triángulo inicial y del formado al trazar la paralela. Dibujo Calcula el valor de los tres ángulos.
_SOL: A 1 / A 2 = 6,000 / 240 = 25
 =  = 67º 22´ 48,49 "_ B = 45º 14´ 23,03"
ISÓSCELES
05.- En un triángulo las proyecciones de sus lados menores sobre el lado mayor son 5 cm y 16 cm. Si su área es de 130 cm2 . Calcula la altura de un triángulo similar a este de área 573,3 cm2. Dibujo.
_SOL: h = 26 cm
10.- Un alumno dice: “Yo veo lo alto del corte del gimnasio con un ángulo de movimiento de 45º. Si me acerco 6 metros ahora el ángulo es de 30º ".
Demuestra con cálculos matemáticos que el alumno miente. Dibujo
_SOL: Por tangentes _ x = 6/-0,46 = -14,19
15.- Calcula el valor de cos (180º + a) siendo sen â = 5/13 y con â, un ángulo agudo. Dibujo.
_SOL: cos (180 + â) = -12/13
20.- Darío y Elena han resuelto el triángulo a = 30 cm, b = 40 cm y â = 35º y han obtenido:
Darío_B = 49º 53´11,07 ”, C = 95º 06´48,93” y c = 52,095 cm.
Elena_ B = 130º 06'48,93 ”, C = 14º 53'11,07” y
c = 13,437 cm.
¿Quién de los dos tiene razón? Justifica tu respuesta. Dibujo
_SOL: sen B = (40 · sen35) / 30 = 0,7647 ...
LOS DOS TIENEN RAZÓN. HAY DOS SOLUCIONES.
25.- Justificación con algún criterio de semejanza, si un triángulo con dos ángulos iguales de 30º y un triángulo de lados 10 cm, 10 cm y 17 cm, son semejantes o no. Dibujo.
_SOL: El segundo es ISÓSCELES pero sus ángulos miden:
 =  = 31º 47´ 17,9 "_ B = 116º 25´ 24,2"
NO SON SEMEJANTES.