Beräkning av sannolikhet
Om du singlar ett vanligt mynt 500 gånger, hur många gånger kan du förvänta dig att få klave?
Sannolikhet: Ett mynt har två sidor (krona och klave). Sannolikheten att få klave är 1/2 (eller 50%).
Beräkning: Multiplicera antalet kast med sannolikheten:
Svar: Du kan förvänta dig att få klave 250 gånger.
En påse innehåller 1 röd och 1 blå kula. Du drar en kula, lägger tillbaka den och drar igen.
Fråga: Vad är sannolikheten att få röd två gånger i rad?
Multiplicera:
1/2 × 1/2 = 1/4
En påse innehåller 4 röda och 6 blåa kulor. Du drar en kula, tittar på färgen och lägger tillbaka den i påsen. Sedan drar du en andra kula.
a) Rita ett träddiagram som visar alla möjliga utfall för de två dragen.
b) Beräkna sannolikheten att du får två röda kulor.
a) Träddiagram:
b) Lösning: Följ grenen för (Röd, Röd).
P(röd, röd) = 4/10 . 4/10 = 16/100 = 16%
Du kastar en tärning 12 gånger.
Fråga: Hur många gånger förväntas du få en 6:a?
E = 12 × 1/6 = 2
Linnea brukar göra mål på 8 av 10 straffar i innebandy.
Hur många mål gör hon då sannolikt om hon skjuter 35 straffar?
Sannolikhet: 8 av 10 kan skrivas som 0,8 (eller 80%).
Beräkning: Multiplicera antalet straffar med sannolikheten:
Svar: Hon gör sannolikt 28 mål.
Hur många gånger kan du förvänta dig att få en tvåa eller en femma om du kastar en sexsidig tärning 600 gånger?
Sannolikhet: Det finns 2 gynnsamma sidor (2:an och 5:an) av totalt 6 sidor. Sannolikheten är 2/6 vilket förenklas till 1/3.
Beräkning: Multiplicera antalet kast med sannolikheten:
Svar: Du kan förvänta dig att få en tvåa eller femma 200 gånger.
Du kastar ett mynt två gånger.
Fråga: Vad är sannolikheten att få krona båda gångerna?
1/2 × 1/2 = 1/4
Du kastar ett vanligt mynt tre gånger i rad.
a) Rita ett träddiagram som visar alla möjliga utfall för de tre kasten.
b) Använd träddiagrammet för att räkna ut sannolikheten att du får klave tre gånger i rad.
a) Träddiagram:
b) Lösning: Följ grenen för (Klave, Klave, Klave).
P(klave, klave, klave) = 1/2 . 1/2. 1/2 = 1/8 = 12,5%
Du kastar ett mynt två gånger.
Fråga: Vad är sannolikheten att få krona båda gångerna?
1/2 × 1/2 = 1/4
Det finns 300 lotter i ett lotteri. Chansen att vinna är 20 %.
Hur många nitlotter finns det?
Totalt finns det 300 lotter.
20 % är vinstlotter.
Antal lotter som vinner:
20 % av 300 = 0,2 · 300 = 60
Alltså finns det 60 vinstlotter.
Då är resten nitlotter:
300 − 60 = 240
Svar: Det finns 240 nitlotter.
Ett lyckohjul har 8 lika stora fält. Två av fälten är röda, tre är blå och tre är gröna.
Du snurrar hjulet 120 gånger.
Hur många fler gånger kan du förvänta dig att hjulet stannar på ett blått fält jämfört med ett rött fält?
Sannolikhet och förväntat antal för rött: Sannolikhet = 2/8 = 1/4.
Förväntat antal röda = 120 .(1/4) = 30 gånger.
Sannolikhet och förväntat antal för blått: Sannolikhet = 3/8.
Förväntat antal blåa = 120.(3/8) = 360/8 = 45 gånger.
Skillnaden: 45 - 30 = 15
Svar: Du kan förvänta dig att få blått 15 gånger fler än rött.
En påse innehåller 2 röda och 1 blå kula. Du drar två gånger med återläggning.
Fråga: Vad är sannolikheten att få röd och sedan blå?
2/3 × 1/3 = 2/9
I en fruktskål ligger det 5 apelsiner och 3 äpplen. Du tar två frukter slumpmässigt utan att titta (du tar alltså upp en och behåller den, och tar sedan en till).
a) Rita ett träddiagram för de två fruktdragen. Skriv ut sannolikheterna som bråk på varje gren.
b) Beräkna sannolikheten att du får exakt en apelsin och exakt ett äpple.
a) Träddiagram
b) Lösning: Två vägar ger en av varje: (Apelsin, Äpple) och (Äpple, Apelsin).
P(Apelsin, Äpple ) = 5/8 . 3/7 = 15/56
P(Äpple, Apelsin) = 3/8 . 5/7 = 15/56
Totalt: 15/56+ 15/56 = 30/56 = 15/28 = ca 53,6%
En elev svarar slumpmässigt på 10 ja/nej-frågor.
Fråga: Hur många rätt förväntas eleven få?
E = 10 × 1/2 = 5
Märta ska fylla en påse med svarta och vita kulor så att sannolikheten att ta en svart kula är 40 %.
Ge två förslag på hur många kulor av varje färg som kan finnas i påsen.
Motivera dina förslag.
Förslag 1: Minsta möjliga antal
Svarta kulor: 2 st
Vita kulor: 3 st
Totalt antal: 5 st
Motivering: Eftersom 40 % är 40/100, kan vi förkorta bråket till 2/5. Det betyder att 2 av 5 kulor ska vara svarta. Då måste resterande 3 kulor vara vita.
Förslag 2: Ett större antal
Svarta kulor: 20 st
Vita kulor: 30 st
Totalt antal: 50 st
Motivering: Om vi utgår från förhållandet 2 av 5 och multiplicerar båda med 10, får vi 20 svarta av totalt 50 kulor.
Du kastar en tärning 60 gånger.
Fråga: Hur många gånger förväntas du få ett jämnt tal?
E = 60 × 1/2 = 30
Du kastar en tärning två gånger.
Fråga: Vad är sannolikheten att få en 6:a och sedan ett jämnt tal?
1/6 × 1/2 = 1/12
Kalle har en tendens att försova sig. Sannolikheten att han försover sig en vanlig skolmorgon är 20%.
Om han försover sig är chansen att han missar bussen 80%.
Om han inte försover sig är chansen att han missar bussen bara 10%.
a) Rita ett träddiagram som beskriver Kalles morgon.
b) Vad är sannolikheten att Kalle missar bussen en slumpmässigt vald skolmorgon?
a) Träddiagram
b)
Lösning: Vi letar efter de två grenar som slutar i att han missar bussen och adderar dem.
Väg 1 (Försover OCH missar): 0,2 . 0,8 = 0,16
Väg 2 (Försover inte OCH missar): 0,8 . 0,1 = 0,08
Totalt: 0,16 + 0,08 = 0,24 = 24%.
I ett spel är sannolikheten att vinna 0,2 varje gång du spelar.
Du spelar 50 gånger.
Fråga: Hur många förlust förväntas du få?
Vinst = 50 . 0,2 = 10
Förlust = 50 - 10 = 40
I en byrålåda ligger det 5 svarta och 7 vita strumpor. Filip tar slumpvis en strumpa och lägger inte tillbaka den. Sedan tar han en strumpa till utan att titta.
Rita ett träddiagram som beskriver händelserna.
Beräkna
a) sannolikheten att få två svarta
b) sannolikheten att han tar strumpor med olika färg
c) sannolikheten att han tar högst en vit strumpa
a) Sannolikheten att få två svarta
Vi följer grenen: svart → svart
(5/12) . (4/11) = 20/132 = 5/33
Svar: 5/33
b) Sannolikheten att få olika färg
Det finns två sätt:
(5/12) . (7/11) + (7/12) . (5/11) =
35/132 + 35/132 = 70/132 = 35/66
Svar: 35/66
c) Sannolikheten att få högst en vit strumpa
"Högst en vit" betyder:
Vi tar från tidigare:
(5/33) + (35/66)
= 10/66 + 35/66 = 45/66 = 15/22
Svar: 15/22
I en urnan finns det endast svarta och vita kulor. Du vet inte hur många de är, men du vet att sannolikheten att dra en svart kula är 40%.
Du drar en kula, noterar färgen, och lägger sedan tillbaka den i urnan. Du upprepar detta experiment ett okänt antal gånger. När experimentet är klart visar det sig att det förväntade antalet vita kulor du dragit är 150 st.
Hur många gånger drog du en kula ur urnan totalt?
Sannolikhet för vit kula: Eftersom sannolikheten för svart är 40% måste sannolikheten för vit vara 100% - 40% = 60%. Som decimaltal är detta 0,6.
Ställ upp en ekvation: Formeln för förväntat antal är:
Förväntat antal = Totalt antal drag (n) . Sannolikheten (P)
Vi vet det förväntade antalet 150 och sannolikheten 0,6.
150 = n. 0,6
Lös ut n:
Svar: Du drog en kula ur urnan totalt 250 gånger.
En påse innehåller 3 gröna och 2 gula kulor. Du drar två gånger utan återläggning.
Fråga: Vad är sannolikheten att få två gröna?
3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10
I en ask ligger 4 chokladpraliner och 6 kolapraliner. Du blundar och tar tre praliner i rad för att äta upp dem (du tar alltså tre praliner utan återläggning).
a) Rita ett träddiagram för de tre dragen.
b) Beräkna sannolikheten att du får minst en chokladpralin. (Tips: Det finns ett snabbare sätt att räkna ut detta på än att addera alla grenar med choklad i sig).
a) Träddiagram
b)
b) Lösning: "Minst en choklad" är komplementhändelsen till att "bara få kola". Vi räknar ut sannolikheten för tre kola i rad och drar bort det från 1 (alltså 100%).
P(K, K, K) = 6/10. 5/9 . 4/8 = 120/720 = 1/6
P(Minst en choklad} = 1 - 1/6 = 5/6 = ca 83,3%.
En låda innehåller 2 röda, 2 blå och 1 grön kula. Du drar två gånger utan återläggning.
Fråga: Vad är sannolikheten att få två kulor i samma färg?
Tre fall:
Totalt:
2/20 + 2/20 = 4/20 = 1/5