Asosiy tushunchalar
Chegaralangan operator nima?
Bu – chiziqli operatorning bunday xususiyati: ∥Ax∥≤C∥x∥ barcha x uchun.
Qanday operator doimo chegaralangan?
Matritsa bilan ko‘paytirish Rn→Rm.
Chegaralanganlik sharti.
Bu shart bajarilganda chiziqli operator uzluksiz bo‘ladi: ∥Ax∥≤C∥x∥.
Operator normasi.
∥A∥=sup∥x∥=1∥Ax∥ – bu nimaning formulasi?
Operator Af=f(0)Af=f(0) ning C[0,1]C[0,1] da normasi.
∥A ∥=1bo‘lgan operator.
Uzluksiz operator nima?
Bu – chiziqli operatorning bunday xususiyati: agar xn→x bo‘lsa, u holda Axn→Ax.
∥A∥=1 bo‘lgan operatorga misol keltiring.
Operator A:ℓ∞→ℓ∞, (Ax)n=xn/n ning normasi.
Nima uchun differensiallash operatori uzluksiz emas?
Differensiallash operatori C1[0,1]→C[0,1] – buning sababi.
Nol operator.
∥A∥=0 bo‘lgan yagona operator.
fn(t)=sin(nt) ketma-ketligi bu operatorning chegaralanmaganligini ko‘rsatadi.
Differensiallash operatori.
Chegaralanganlik nima?
Bu – chiziqli operatorlarda uzluksizlik bilan bir xil ma’noga ega.
B(X,Y) nima?
Bu fazo – barcha chegaralangan operatorlar to‘plami.
Chiziqli operatorlar.
Bu turdagi operatorlar uchun uzluksizlik va chegaralanganlik bir narsa.
∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥ – bu qaysi tengsizlik?
Uchburchak tengsizligi (operator normasi uchun).
Volterra operatori (Af)(t)=∫t0f(s)ds– bu qaysi sinf operatori?
Chegaralangan integral operator.
0 da uzluksizlik nima?
Agar operator bu shartni qanoatlantirsa, u chegaralangan bo‘ladi: mavjud δ>0: ∥x∥<δ⇒∥Ax∥<1∥x∥.
Banax fazosining to‘lalik xossasi.
Agar Y Banax fazosi bo‘lsa, B(X,Y) ham shunday bo‘ladi.
Chegaralanganlik.
Agar operator uzluksiz bo‘lmasa, u bu xususiyatga ega emas.
Agar A=λIA=λI bo‘lsa, ∥A∥∥A∥ nimaga teng?
lambda
A:ℓ2→ℓ2, (Ax)n=nxn – bu operator chegaralanganmi?
Yo‘q, chegaralanmagan.
Uzluksizlik va chegaralanganlikning ekvivalentligi nima?
Bu chiziqli operator uchun ekvivalent tushunchalar: bir nuqtada uzluksizlik, chegaralanganlik, 0 da uzluksizlik.
Teskarisi chegaralanmagan chegaralangan operatorga misol.
Operator A:ℓ2→ℓ2, (Ax)n=xn/n – chegaralangan, uning teskarisi esa chegaralanmagan.
Teskari operator uzluksiz bo‘lmagan uzluksiz operatorga misol.
Bu misolda operator uzluksiz, lekin teskarisi uzluksiz emas: A(x1,x2,… )=(x1,x2/2,x3/3,… ).
Birlik sferadagi maksimal cho‘zilish.
Operator normasining geometrik ma’nosi: birlik sharning tasvirining eng uzoq nuqtasining uzunligi.
Bu operator chegaralangan, lekin kompakt emas: (Ax)(t)=t⋅x(t)(Ax)(t)=t⋅x(t) da C[0,1]C[0,1].
Chegaralangan, ammo kompakt bo‘lmagan operator.